基于Bezier曲線的多邊形圖像骨架矩的研究

段 汕，張 洪，王小凡，張 曄，張彬彬

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

基于Bezier曲線的多邊形圖像骨架矩的研究

段 汕，張 洪，王小凡，張 曄，張彬彬

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

在Hu矩與Chen邊界矩方法的基礎上，將骨架矩理論融入多邊形圖像的骨架處理中，通過一次與二次Bezier曲線將多邊形骨架用控制點表示，推導了基于控制點表示的骨架矩不變量，為多邊形圖像的分類與識別提供了一種統(tǒng)計特征提取方法.

多邊形；骨架；Bezier曲線；矩不變量

圖像的特征提取是圖像分析的關鍵，常用的圖像形狀特征提取算法有Fourier描述子、Hough變換、形狀矩陣和矩不變量等方法.矩特征以圖像分布的各階矩來描述圖像的形狀特征，具有較好的抗噪性和穩(wěn)定性.Hu[1]首先將矩用于目標識別，提出了矩不變量的概念.矩不變量是一種比較經(jīng)典的特征指標，它提取的是物體的全局特征.矩不變量具有平移、旋轉和尺度變換不變性，被廣泛應用在圖像分類與識別、圖像檢索與匹配、圖像分析等領域[2,3].Hu矩實際上是針對目標區(qū)域的矩，所以又稱區(qū)域矩，它需要對整個圖像存在的區(qū)域進行計算，計算量大，不利于實時處理.為了快速計算區(qū)域矩不變量，近年來研究者提出了很多矩的快速算法.因為人的視覺系統(tǒng)對物體認識的初級階段是對其形狀的認識，而邊界中含有圖像形狀的重要信息，因此在圖像處理與模式識別領域經(jīng)常根據(jù)圖像的邊界來識別圖像或對其分類.Chen[4,5]提出的利用區(qū)域邊界來計算區(qū)域矩的快速算法即其中一個，這種邊界矩不變量與Hu矩相比計算量較小，大大減少計算時間，提高了計算效率.

骨架是圖像形狀的曲線表述方式，描述的是圖像的幾何與拓撲性質(zhì).基于骨架的圖像識別往往需要對骨架進行演化、近似、標注等繁瑣的編碼工作，而采用合適的骨架矩技術可以定量描述骨架的整體分布、骨架的彎曲程度、骨架的長短情況等信息[6].本文結合Hu區(qū)域矩與Chen邊界矩的思想，研究了多邊形圖像骨架的特點，在多邊形圖像的骨架問題中建立了骨架矩理論，通過Bezier曲線推導了基于控制點表示的骨架矩，為多邊形圖像的分類與識別建立了一種定量表示方法.

1 多邊形圖像的骨架

設M?R2是歐式空間中的任一多邊形，邊界為?M.對任意r≥0和p∈R2，以p為圓心，r為半徑的圓盤為：

Kr(p)={q|d(p,q)≤r}.

點p處的半徑函數(shù)為[7]：

規(guī)定多邊形的外邊界以逆時針方向為正方向，內(nèi)邊界以順時針方向為正方向，多邊形的所有頂點p1,p2,…,pn將構成一個有向點列.多邊形在凸頂點處內(nèi)角0<α<π，凹頂點處內(nèi)角π<α<2π.多邊形圖像的骨架是由多邊形的點與點、點與邊、邊與邊的平分線構成.

(2)對于點A(x1，y1)，B(x2，y2),點A與邊AB的平分線是過點A且垂直于AB的直線，方程為：

(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)=0.

(3)對于點F(x0,y0)與直線L:ax+by+c=0，a2+b2=1，F(xiàn)?L，點F與邊L的平分線是以點F為焦點，L為準線的拋物線，方程為：

(a1±a2)x+(b1±b2)y+(c1±c2)=0，

其中正負號的選取保證角平分線位于多邊形的內(nèi)部.

當L1‖L2時，兩直線方程可寫為Li:a1x+b1y+ci=0(i=1,2)，平分線方程為：

2 多邊形骨架的Bezier曲線表示

根據(jù)上述分析，多邊形圖像M的骨架，是由直線和拋物線構成的連續(xù)曲線.設其中的直線部分為L={li|i=1,2,…,m}，拋物線部分為Q={qj|j=1,2,…,n}，則多邊形圖像M的骨架可以表示為S(M)=L∪Q.其中，骨架S(M)的直線與拋物線部分即一次與二次Bezier曲線[8].

2.1 Bezier曲線的定義與性質(zhì)

對于點V0,V1，稱下列參數(shù)多項式：

V(t)=(1-t)V0+tV1,0≤t≤1.

是以點V0,V1為控制點的一次Bezier曲線，它表現(xiàn)為以V0,V1為兩端點的線段.

對于點V0,V1,V2，稱下列參數(shù)多項式：

V(t)=(1-t)2V0+2t(1-t)V1+t2V2,0≤t≤1.

是以點V0,V1,V2為控制點的二次Bezier曲線，V0,V2分別為曲線的兩端點，V1為二次Bezier曲線V(t)在點V0與V2的切線的交點[7].

設控制點坐標為V0(x0,y0)、V1(x1,y1)、V2(x2,y2)，則一次Bezier曲線的參數(shù)方程為：

二次Bezier曲線的參數(shù)方程為：

它們分別表示一條控制點為V0,V1的直線和一條控制點為V0,V1,V2的拋物線.

2.2 控制點的求取

一次Bezier曲線的控制點即為兩端點，二次Bezier曲線的控制點為其兩端點及Bezier曲線在兩端點處切線的交點[8].對于多邊形圖像M，只有凹頂點與邊的平分線才是二次Bezier曲線.

Lk,k+1:ak,k+1x+bk,k+1y+ck,k+1=0,

若記:

且拋物線在點V0、V2處的切線分別為L0、L2，則L0、L2上的方向向量分別為：

因此，拋物線qj過點V0、V2的切線方程分別為：

由L0、L2的方程，可求得控制點V1的坐標(xV1,yV1)

3 骨架矩不變量

3.1 一次Bezier曲線的骨架矩

對多邊形圖像M的一次Bezier曲線骨架L={li|i=1,2,…,m}，設骨架段li的控制點為V0i(x0i,y0i)、V1i(x1i，y1i)，i=1,2,…,m,則骨架段li的方程為：

骨架段li的p+q階中心矩為：

p+q=2,3,…，

于是，骨架段li的7個具有平移、旋轉和尺度變換不變性的矩不變量為：

3.2 二次Bezier曲線的骨架矩

對多邊形圖像M的二次Bezier曲線骨架為Q={qj|j=1,2,…,n}，設骨架段qj的控制點為V0j(x0j,y0j)、V1j(x1j,y1j)、V2j(x2j,y2j)，j=1,2,…,n，則骨架段qj的方程為：

骨架段qj的p+q階原點矩為：

x0j)t+x0j]p[(y0j+y2j-2y1j)t2+2(y1j-y0j)t+

y0j]qdt,

qj的p+q階中心矩為：

p+q階歸一化中心矩為：

其中p+q=2,3,…，這樣骨架段qj的7個具有平移、旋轉和尺度變換不變性的矩不變量為：

多邊形圖像M的骨架被多邊形的點與點、點與邊、邊與邊的平分線的交點分割成若干個骨架段，即一次與二次Bezier曲線，將一次與二次Bezier曲線的骨架矩相加構成多邊形圖像M的骨架矩，給出多邊形圖像M的7個具有平移、旋轉和尺度變換不變性的骨架矩：

待測圖像N與參考圖像M的矩不變量距離d(M,N)表示了M與N的相似程度，矩不變量距離越小，代表待測圖像N與參考圖像M越接近，相似程度越高.

4 實驗結果及分析

本文在Matlab7.10.0環(huán)境下，對3個具有代表性的多邊形圖像進行仿真實驗.圖1給出了3個多邊形圖像，區(qū)別在于圖像的左下方是否有凹頂點與凹頂點處內(nèi)角的大小，其中圖1(1)的多邊形頂點坐標為(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6),(2.5, 4)，圖1(2)的多邊形頂點坐標為(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6),(2, 4)，圖1(3)的多邊形頂點坐標為(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6).圖2為將相應多邊形圖像的邊界均勻離散化，其離散點集構成的Voronoi圖.圖3為多邊形圖像的骨架及控制點圖，其中藍色曲線為多邊形的骨架，紅色的點為控制點.表1給出了三幅多邊形骨架圖的所有控制點坐標.表2是根據(jù)表1的控制點坐標計算出的多邊形圖像的骨架矩.

圖1 3個形狀相近的多邊形Fig.1 There polygons of similar shape

圖2 圖1中對應的邊界離散點集的Voronoi圖Fig.2 The corresponding Voronoi diagram of a set of boundary discrete points in Fig.1

圖3 圖1中對應的多邊形的骨架及控制點圖Fig.3 The corresponding skeletons and the control points graphs of polygons in Fig.1

表1 圖3中對應的多邊形骨架的控制點Tab.1 The control points of the corresponding polygonal skeletons in Fig.3

表2 圖1中對應的多邊形圖像的骨架矩Tab.2 The corresponding skeleton moment invariants of polygonal images in Fig.1

5 結束語

本文研究了多邊形圖像骨架的特點，在Hu區(qū)域矩與Chen邊界矩思想的基礎上，通過一次與二次Bezier曲線推導了基于控制點表示的多邊形圖像的骨架矩不變量，為多邊形圖像的分類與識別建立了一種定量表示方法.實驗結果表明該方法可以有效地應用于多邊形圖像的分類、識別與匹配.

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Study of Skeleton Moments of Polygonal Images Based on Bezier Curves

DuanShan,ZhangHong,WangXiaofan,ZhangYe,ZhangBinbin

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we use the theory of skeleton moments to process polygonal images′ skeletons based on the theories of Hu′s moment invariants and Chen′s boundary moment invariants.We express polygonal skeletons with a few of control points by the first-order and second-order Bezier curves, deduce skeleton moment invariants expressed by control points, which provides a statistical feature extraction method for the classification and recognition of polygon images.

polygon;skeleton;Bezier curve;moment invariant

2016-12-27

段 汕(1962-)，女，教授，博士，研究方向：數(shù)學應用方法與圖像處理，E-mail:duanshan@mail.scuec.edu.cn

國家自然科學基金資助項目(61374085，11301552)

TP751;O143

A

1672-4321(2017)01-0113-06