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    深圳中考之最值歸納

    2017-04-13 07:40:06廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學(xué)518100杜春聯(lián)
    數(shù)理化解題研究 2017年2期
    關(guān)鍵詞:對稱點(diǎn)對稱軸拋物線

    廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學(xué)(518100) 杜春聯(lián) ●

    深圳中考之最值歸納

    廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學(xué)(518100) 杜春聯(lián) ●

    在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,經(jīng)常會遇到求最值的問題,這也是學(xué)生感覺比較難處理的問題,甚至很多學(xué)生無從下手,原因是對問題的基本模型不了解,如果把無關(guān)緊要的東西都去掉,讓題目原形畢露,回到最基本的數(shù)學(xué)模型,問題就容易解決了,突破口是線段公理及其推論即兩點(diǎn)間線段最短和三角形的兩邊之和大于第三邊,以下是深圳中考幾種常見的最值類型.

    深圳;數(shù)學(xué)中考;最值

    一、基本模型一 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè),求兩線段和的最小值

    已知A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.

    分析 根據(jù)對稱性先找到點(diǎn)P然后根據(jù)線段公理證明最小值.作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A',連接A'B交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)PA+ PB的值最?。蓪ΨQ性可知PA=PA',∴PA+PB=PA'+?PB=A'B.

    如果在直線l上還存在一點(diǎn)P',則

    P'A+P'B=P'A'+P'B>A'B.∴當(dāng)A',P,B三點(diǎn)在一條直線上,使PA+PB的值最?。?/p>

    例題分析

    1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A(2,-2),B(4,2)兩點(diǎn),P是直線x=1上的動點(diǎn),則PA+PB 的值最小是___.

    分析 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè),求兩線段和的最小值,屬于基本模型一.

    2.如圖2,MN是半徑為1的圓O的直徑,點(diǎn)A在圓O上,∠AMN=30°,B為弧AN的中點(diǎn),P是直徑MN上一動點(diǎn),則PA+PB 的最小值為___.

    分析 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè),求兩線段和的最小值,屬于基本模型一.

    如圖3所示,A與A'關(guān)于MN對稱,連接A'B交MN于點(diǎn)P,則PA+PB=PA'+PB=A'B.

    ∵∠AMN=30°,B為弧AN的中點(diǎn),∴∠BON=30°∠A'ON=∠AON=60°,∴∠A'OB=90°.由勾股定理可,得:

    二、基本模型二 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè),求兩線段差的最大值

    PA-PB =AB,此 時(shí)PA-PB的值最大,這類題在深圳中考出現(xiàn)的機(jī)率少一點(diǎn).

    三、基本模型三 兩定點(diǎn)在定直線兩側(cè),求兩線段差的最大值

    已知如圖4,A、B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使的值最大.

    利用對稱性,把模型三轉(zhuǎn)換成模型二,過B點(diǎn)作關(guān)于直線 l的對稱點(diǎn) B'點(diǎn),連接 AB'交直線 l于點(diǎn) P,則

    例題分析 如圖6,梯形ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC,且BE⊥CD于E,P是BE上一動點(diǎn)P,若BC=6, CE=2DE,則的最大值是 .

    分析 A、C兩點(diǎn)在直線BE的兩側(cè),在直線BE上找一點(diǎn)P,使的值最大,與模型三相同,因此要先找期中一個點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn),再把對稱點(diǎn)和另一個點(diǎn)連接起來與直線BE相交即可求出.

    因?yàn)橐阎獥l件中BE⊥CD,所以考慮作C點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)F,連接AF,則就是所求的.

    變式 如圖8,拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),若直線PE為拋物線的對稱軸,拋物線與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)M、Q為直線PE上動點(diǎn).

    (1)在對稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使三角形ADM的周長最小?若存在,求出這個最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo),若存在,請說明理由.

    分析 (1)三角形ADM的周長=AD+DM+MA符合基本模型一,兩頂點(diǎn)在定直線同側(cè),在直線上找一個點(diǎn),使得到兩個定點(diǎn)的距離之和最小.即作D點(diǎn)關(guān)于PE的對稱點(diǎn)D1,連接AD1交PE于點(diǎn)M,三角形ADM的周長=AD+DM+MA =AD+AD1取值最?。?/p>

    四、基本模型四

    已知一個定點(diǎn)兩條定直線,在直線上找兩個點(diǎn)使得定點(diǎn)到兩動點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

    如圖9,已知∠A和這個角內(nèi)的已知點(diǎn)P,求作直線BC交∠A的兩邊于B、C,使△PBC的周長最小.

    分析 分別作點(diǎn)P關(guān)于角兩邊的對稱點(diǎn)P1,P2,連接P1P2交角兩邊于B、C兩點(diǎn),則△PBC的周長=PC+CB+BP =P2C+CB+BP1=P1P2.如果還存在另外兩點(diǎn)C1,B1,則△PB1C1周長=PC1+C1B1+B1P=P2C+C1B1+B1P1>P1P2,所以△PBC周長的最小值為P1P2.

    變式分析 如圖11,拋物線y =x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),直線l與拋物線交于點(diǎn)A、C,其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,若直線PE為拋物線的對稱軸,拋物線與y軸交于點(diǎn)D,直線AC與y軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)M為直線PE上一動點(diǎn),則在x軸上是否存在一點(diǎn)N,使四邊形DMNQ的周長最小?若存在,求出這個最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

    分析 四邊形DMNQ的周長最小,因?yàn)镈Q是定值,所以要四邊形DMNQ的周長最小,則DM+MN+NQ+QD的值最小作Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q1,D,C剛好關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,連接Q1C分別交x軸及對稱軸于點(diǎn)N、M,則NQ=NQ1,MD=MC,所以四邊形DMNQ的周長=DM+MN+NQ+QD=CM+MN+NQ1+QD=Q1C+QD取最小值.

    G632

    B

    1008-0333(2016)32-0022-02

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