關(guān)注方程本質(zhì) 在體驗(yàn)感悟中建模
——《用方程解決問題（例2）》教學(xué)實(shí)踐與思考

張麗萍

【緣起】

嘉興市小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)畢業(yè)檢測卷上有這樣一道題：足球上白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，共有黑色皮多少塊？

此題照搬了人教版五年級(jí)上冊教材第74頁例2的內(nèi)容。

筆者對(duì)本校7個(gè)班共293名學(xué)生的解題情況做了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)共有113人次出現(xiàn)或多或少的錯(cuò)誤。

【分析與思考】

從調(diào)查情況來看，大部分學(xué)生在面對(duì)此類問題時(shí)，基本都采用了方程法來解答，說明他們還是可以在問題中識(shí)別方程的模型并運(yùn)用相應(yīng)策略正確解答。同時(shí)，調(diào)查也反映出仍有30%左右的學(xué)生對(duì)運(yùn)用方程解題不敏感、不適應(yīng)，方程式的表達(dá)與計(jì)算能力不符等問題。最突出的表現(xiàn)是由于原來的認(rèn)知習(xí)慣，運(yùn)用算術(shù)方法解決問題的影響較深刻，學(xué)生應(yīng)用方程意識(shí)不強(qiáng)，甚至?xí)霈F(xiàn)一定的排斥，沒有形成自覺運(yùn)用方程的意識(shí)。

基于這樣的現(xiàn)狀，筆者認(rèn)為，學(xué)習(xí)新知時(shí)的建模至關(guān)重要，只有關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生自覺探究、構(gòu)建模型，運(yùn)用方程思想解決問題，在體驗(yàn)中感悟，在感悟中創(chuàng)新，把原本客觀的問題解決內(nèi)化為自己獨(dú)到的解題思想方法進(jìn)而形成技能才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳方式?，F(xiàn)以《用方程解決問題（例2）》談?wù)剛€(gè)人的嘗試與思考。

一、感悟體驗(yàn)前聚焦問題——凸顯本質(zhì)

（一）解讀問題背景，找準(zhǔn)學(xué)習(xí)起點(diǎn)

修訂教材將解稍復(fù)雜方程與列方程解決問題分開教學(xué)，這樣的改變是為了適當(dāng)分散原來一節(jié)課兼顧列方程和解方程兩個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，便于突出等量關(guān)系的分析，有利于讓學(xué)生充分體驗(yàn)列方程解決問題的過程，突出列方程解決實(shí)際問題的特點(diǎn)與優(yōu)勢，讓學(xué)生在解決問題的時(shí)候擺脫算術(shù)思維方法中的某些局限性，尤其是逆向思維的解決問題，這樣可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，體會(huì)蘊(yùn)含在方程中的建模思想、化歸思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)如六年級(jí)分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)的解決問題及今后的代數(shù)知識(shí)做好認(rèn)知的鋪墊。

（二）基于學(xué)情，定位學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)有兩個(gè)障礙：一是找準(zhǔn)等量關(guān)系，并根據(jù)等量關(guān)系列方程解答；二是體驗(yàn)列方程解決實(shí)際問題的優(yōu)越性，即從逆向到順向思維轉(zhuǎn)變的問題?？朔@兩點(diǎn)，將是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識(shí)上的又一次飛躍。

基于這樣的學(xué)情，我將教學(xué)目標(biāo)定位在：通過畫圖，找到等量關(guān)系，正確列方程解決問題；借助數(shù)形結(jié)合，溝通線段圖—等量關(guān)系—方程三者之間的聯(lián)系，初步體會(huì)列方程解決問題的特點(diǎn)與優(yōu)越性；提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、分析問題、解決問題的能力等。

二、感悟體驗(yàn)中滲透思想——建立模型

為達(dá)成目標(biāo)，每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的把握都得深思熟慮，這樣才能發(fā)揮教學(xué)的最大價(jià)值。我們可以從問題情境——建立模型——應(yīng)用模型三方面入手，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，積累構(gòu)建模型的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步形成模型思想。

（一）主動(dòng)學(xué)習(xí)，以學(xué)定教

1.鎖定典型資源，為學(xué)而導(dǎo)。

在充足的時(shí)間里，學(xué)生自主審題、分析數(shù)量關(guān)系、獨(dú)立解決。由于個(gè)體思維能力的差異，原認(rèn)知逐漸顯現(xiàn)，作為教師需用一雙敏銳的眼睛去捕捉具有代表性的典型資源，通過收集，大致有這么幾種方法：

讓學(xué)生板演解題方法并自由說說是怎么想的，表述思考過程，教師不評(píng)價(jià)對(duì)錯(cuò)。在這樣的交流過程中推進(jìn)學(xué)習(xí)，引發(fā)學(xué)生自覺對(duì)于不同方法的思辨，為以學(xué)定教奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，通過交流學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生在有限的時(shí)間里，獲取更多的方法，找到合適、有效的解決問題的方法，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的思維空間，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

2.引發(fā)再思考，為學(xué)而調(diào)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于解決問題的目標(biāo)之一是學(xué)生“初步形成評(píng)價(jià)與反思意識(shí)”，面對(duì)各種方法與思考過程的表述，教師提出疑問：這么多方法，答案各不相同，我們該怎么辦？引發(fā)學(xué)生主動(dòng)驗(yàn)證自己的推理過程是否正確，此舉既培養(yǎng)了學(xué)生檢驗(yàn)的習(xí)慣，用檢驗(yàn)結(jié)果及時(shí)反思自己的解題策略，尋找錯(cuò)誤根源，重審關(guān)鍵信息進(jìn)行自我調(diào)整，把錯(cuò)誤扼殺在搖籃里；又為最精彩的課堂生成埋下伏筆。

（二）基于等量關(guān)系，突破難點(diǎn)

1.任務(wù)驅(qū)動(dòng)找等量關(guān)系。

列方程解決問題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系。學(xué)生在之前各年級(jí)的解決問題學(xué)習(xí)中，已經(jīng)初步積累了一些分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)。但因?yàn)榈攘筷P(guān)系需要學(xué)生具備對(duì)數(shù)量間關(guān)系的理解與抽象概括的綜合能力，所以當(dāng)學(xué)習(xí)列方程解決問題時(shí)，一部分學(xué)生因不能順利、正確地找到等量關(guān)系，而不能完成任務(wù)。

在以上的環(huán)節(jié)里，我以數(shù)形結(jié)合等任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入到問題的本質(zhì)中去，同桌交流利用優(yōu)生資源鎖定正確的方法，并簡要說明理由，以此為突破口帶動(dòng)全班聚焦關(guān)鍵信息，從而找準(zhǔn)等量關(guān)系。

2.萬象歸一表等量關(guān)系。

（1）各顯神通展多元。

算術(shù)解和列方程解決問題有一個(gè)共同的特點(diǎn)——基于等量關(guān)系，但在具體的表述上卻有一定的差異。讓學(xué)生二次探索的目的：一是利用已有的知識(shí)找出題目中數(shù)量間的相等關(guān)系；二是想辦法把這種關(guān)系表示出來。在表示問題中數(shù)量關(guān)系的過程里，讓學(xué)生自主尋找和表達(dá)等量關(guān)系的方法，文字描述、圖形、寫式子等都是等量關(guān)系很好的表征，旨在訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力。

如，有學(xué)生用一句簡單的話來表述——黑色皮塊數(shù)×2－4=白色皮的塊數(shù)；大部分學(xué)生用到了線段圖，也有學(xué)生想到了用式子和文字相結(jié)合的形式來表征。

（2）數(shù)形結(jié)合突重點(diǎn)。

面對(duì)多種等量關(guān)系的表征，優(yōu)化就顯得很有必要。讓學(xué)生從結(jié)果到方法，重新思索表征的需要、表征的使用和價(jià)值，很快發(fā)現(xiàn)畫圖的優(yōu)勢——直觀形象。然后以畫圖作為反饋重點(diǎn)，展示學(xué)生的作品（如圖1），讓學(xué)生自己說圖的意思。

（圖1）

解讀線段圖意義的過程就是找準(zhǔn)等量關(guān)系的過程，適當(dāng)追問學(xué)生先畫什么，強(qiáng)化黑皮作為單位“1”的印象，在此基礎(chǔ)上找準(zhǔn)等量關(guān)系，如，黑色皮塊數(shù)×2－4=白色皮的塊數(shù)、黑色皮塊數(shù)×2－白色皮的塊數(shù)=4、黑色皮塊數(shù)×2=白色皮的塊數(shù)+4。這些相等關(guān)系就是方程的雛形，雖形式不一樣，但本質(zhì)是一樣的，無論怎樣變化，黑色皮作為單位“1”始終不會(huì)變，找對(duì)了這個(gè)方向，學(xué)生就能順向思維，把黑色皮的2倍作為整體來思考，無痕中建立了方程模型。

3.更進(jìn)一步固關(guān)系。

到這里，學(xué)生已基本明確了等量關(guān)系，給發(fā)生錯(cuò)誤的學(xué)生一次糾正的機(jī)會(huì)，厘清錯(cuò)誤原因，二次畫線段圖，同桌互查，能達(dá)到進(jìn)一步深化與鞏固的效果。接著，乘勝追擊，讓學(xué)生自主評(píng)價(jià)黑板上的方法就一目了然了，甚至可能還會(huì)產(chǎn)生新的方法。學(xué)生認(rèn)同方程方法時(shí)，適時(shí)指點(diǎn)一下方程解法的要求，并自主檢驗(yàn)，總結(jié)出列方程解決問題的步驟，強(qiáng)化必要的規(guī)范，一步到位，又一次提高了學(xué)生的建模能力。

（三）由表及里,感悟思想

1.三維溝通,凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。

重視等量關(guān)系的辨析與建立，讓學(xué)生自主嘗試、畫圖支撐、圖式溝通等一系列教學(xué)手段都是為等量關(guān)系的建立與鞏固而服務(wù)。突破了這一點(diǎn)，那么六年級(jí)分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)問題就迎刃而解了。

畫好線段圖，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出算式或方程后，我并沒有止步，而是再帶學(xué)生往里走一走，進(jìn)一步探究“線段圖——等量關(guān)系——方程”三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解在圖上指一指方程中 2X、-4、2X-4 以及算術(shù)中（20+4）、（20+4）÷2 在圖上是哪部分，分別表示什么意思。真正做到數(shù)形結(jié)合，無縫銜接。

2.方法對(duì)比,體驗(yàn)順逆思維。

切身經(jīng)歷了算術(shù)與方程兩種不同思維方式的解題過程，引導(dǎo)學(xué)生將兩種方法進(jìn)行對(duì)比，說說感受進(jìn)一步提煉不同方法背后的意義。將兩者進(jìn)行對(duì)比的目的，是讓學(xué)生體會(huì)到算術(shù)解是逆向思維；方程解是順向思維，體現(xiàn)方程解法的特點(diǎn)。但是兩者又有共源，即等量關(guān)系，這是逆向與順向思維互相轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵點(diǎn)。

3.理解本質(zhì)，感悟方程思想。

著力放大探究過程，說一說、畫一畫、作對(duì)比、檢驗(yàn)等，目的就是帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)多種方法、經(jīng)歷多元思辨。列方程的過程實(shí)際上是一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中特定關(guān)系的過程，也就是數(shù)學(xué)建模過程。讓學(xué)生嘗試將經(jīng)歷的學(xué)習(xí)與思考過程進(jìn)行歸納總結(jié)，掌握列方程解決實(shí)際問題的一般方法和步驟，強(qiáng)化必要的書寫規(guī)范，相對(duì)來講學(xué)生收獲的不僅僅是知識(shí)，還有更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提高建模和解決問題的能力。

三、感悟體驗(yàn)中拓展延伸——鞏固模型

（一）針對(duì)練習(xí)，循序漸進(jìn)

1.找一找（等量關(guān)系）。

（1）一條1000米的公路，平均每天修x米，修了8天，還剩下440米。

（2）飼養(yǎng)場有母雞480只，比公雞的2倍少20只，這個(gè)飼養(yǎng)場公雞有幾只？

【思考：讓學(xué)生在兩個(gè)不同形式的問題中尋找等量關(guān)系，既有針對(duì)性地彌補(bǔ)了學(xué)生在等量關(guān)系確立時(shí)的陌生感，又鞏固了學(xué)生剛剛建立的數(shù)學(xué)模型?！?/p>

2.做一做。

（1）獵豹是世界上跑得最快的動(dòng)物，速度能達(dá)到每小時(shí)110千米，比大象的2倍還多30千米。大象每小時(shí)跑多少千米？

（2）看圖，只列方程不解答。

【思考：以一文一圖形式呈現(xiàn)，既鞏固了學(xué)生剛剛建立的數(shù)學(xué)模型，又稍作變化豐富了ax±b=c類型的應(yīng)用?！?/p>

3.連一連。

【思考：第三層次則是變式延伸，通過兩題的對(duì)比讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)，打破了不是本節(jié)課學(xué)了方程解就所有題目都要用方程的思維定勢，使例題的作用更加突出。這樣一個(gè)從立到破，再破再立的建模過程有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的串聯(lián)和加工，從而達(dá)到舉一反三的效果。】

（二）融合策略，內(nèi)化創(chuàng)新

1.感悟中自由選擇。

畫圖、找等量關(guān)系都可以幫助我們整理?xiàng)l件和問題，思考數(shù)量關(guān)系，確立正確的解題思路。學(xué)生在獨(dú)立嘗試時(shí)，出現(xiàn)了許多不同的算法，只要結(jié)果正確，都是學(xué)生個(gè)性化的思考，應(yīng)予以尊重，不輕易判別方法的優(yōu)劣。至于算術(shù)解和方程解的各自特點(diǎn)與選擇，教師也不作硬性規(guī)定，而是讓學(xué)生在分析的過程中自主感悟，既尊重學(xué)生個(gè)性，又讓學(xué)生體會(huì)解決問題策略的多樣性。

2.融合中不斷創(chuàng)新。

知識(shí)的融合讓策略的使用更加靈活有趣，通過兩種方法的對(duì)比，學(xué)生客觀地指出二者的特點(diǎn)：方程在思維上確實(shí)容易，尤其是一些難以用算術(shù)方法解答但用方程思考能化繁為簡，便捷優(yōu)越，但也有其麻煩之處，即每次都要寫解和設(shè)，解的過程也繁瑣；算術(shù)解在思維上逆向，思考起來麻煩，但算起來簡單。如果將二者有效融合就完美了。基于這樣的思考，有學(xué)生提出“用方程思想，算術(shù)方法”的策略，即利用方程的思維順向?qū)懗鰡栴}中的相等關(guān)系，然后根據(jù)相等關(guān)系逆推出算術(shù)式，這樣就克服了兩者的弊端，在融合中創(chuàng)新。