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    淺談抽象函數(shù)的解題方法

    2017-03-27 17:02:21王秋鳳
    關(guān)鍵詞:解題技巧高中數(shù)學(xué)

    王秋鳳

    【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,抽象函數(shù)是相對(duì)于具體的函數(shù)而言,指沒(méi)有給出函數(shù)解析式或?qū)?yīng)法則,只是給出函數(shù)所滿足的一些性質(zhì),抽象函數(shù)一般是指滿足這些性質(zhì)的一類函數(shù).求解抽象函數(shù)問(wèn)題,要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的抽象思維和邏輯推理能力.隨著對(duì)數(shù)學(xué)考題的要求更多變,抽象函數(shù)問(wèn)題在高考命題中呈現(xiàn)逐漸加強(qiáng)的趨勢(shì).

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);抽象函數(shù);解題技巧

    一、賦值法

    賦值法是把已知函數(shù)所滿足的所有性質(zhì),即一般性條件,賦予特殊的值,推出函數(shù)所必須滿足的其他性質(zhì).

    例1已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(3)=0,對(duì)任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(6)成立,則f(2007)=().

    A.2006

    B.2007

    C.2008D.0

    解析f(-3)=0,取x=-3代入f(x+6)=f(x)+f(6),

    得f(6)=0,f(x+6)=f(x),周期為6,選D.

    例2(2005年重慶高考)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

    (Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

    (Ⅱ)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.

    解(Ⅰ)取x=2,又f(2)=3,得

    f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,即f(1)=1.

    又f(0)=a,故f(f(0)-02+0)=a-02+0,

    即f(a)=a.

    (Ⅱ)又滿足f(x0)=x0的實(shí)數(shù)x0唯一.

    由f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x可知

    對(duì)任意x∈R有f(x)-x2+x=x0.

    在上式中令x=x0有f(x0)-x02+x0=x0.

    又f(x0)=x0得x0-x02=0.

    故x0=0或x0=1.

    若x0=0,方程f(x)=x有兩個(gè)根,故x0≠0.

    若x0=1,則有f(x)=x2-x+1.

    易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè).

    “賦值法”是解抽象函數(shù)問(wèn)題最常用的方法,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題設(shè)條件合理賦值,賦值要有明確的目標(biāo)、依據(jù)和靈活的策略.

    二、變換法

    利用已知函數(shù)所滿足的一般性的關(guān)系式,通過(guò)變量代換,推出所要求的關(guān)系式.

    例3下列命題正確的序號(hào)是.

    ① 若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;

    ② 若f(a+x)+f(a-x)=2c,則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,c)中心對(duì)稱;

    ③ 函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;

    ④ 函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(b-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

    解析①②③④都正確.

    證明①②③證明略.

    ④ 設(shè)函數(shù)y=f(a+x)圖像上任意一點(diǎn)M(m,n),關(guān)于點(diǎn)Ab-a2,0對(duì)稱的點(diǎn)為N(b-a-m,-n),則

    n=f(a+m),-f(b-(b-a-m))=-f(a+m)=-n,

    所以y=f(a+x)圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)都在y=-f(b-x)的圖像上.

    同理,y=-f(b-x)圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)都在y=f(a+x)的圖像上.命題正確.

    三、抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題

    例4已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,求f(x)解析式.

    分析抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題一般用賦值法求解.

    解∵函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,令x=1,y=0,

    得f(1)-f(0)=2,∴f(0)=f(1)-2=-2.

    在f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)中再令y=0得

    f(x)-f(0)=x(x+1).

    ∴f(x)=f(0)+x(x+1)=x2+x-2.

    ∴f(x)=x2+x-2.

    可以看出對(duì)不同類型的抽象函數(shù)問(wèn)題,可以用不同的求解策略,有時(shí)根據(jù)所給條件,可利用具體函數(shù)模型來(lái)尋求解題思路,或檢驗(yàn)解答是否正確,從而化抽象為具體,有利于問(wèn)題的解決.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]張衛(wèi)東.對(duì)抽象函數(shù)周期性的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2012(15).

    [2]楊其武.函數(shù)三性的關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2012(10).

    [3]張真平.抽象函數(shù)定義域的形象化求法[J].教育教學(xué)論壇,2011(13).

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