王秋鳳
【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,抽象函數(shù)是相對(duì)于具體的函數(shù)而言,指沒(méi)有給出函數(shù)解析式或?qū)?yīng)法則,只是給出函數(shù)所滿足的一些性質(zhì),抽象函數(shù)一般是指滿足這些性質(zhì)的一類函數(shù).求解抽象函數(shù)問(wèn)題,要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的抽象思維和邏輯推理能力.隨著對(duì)數(shù)學(xué)考題的要求更多變,抽象函數(shù)問(wèn)題在高考命題中呈現(xiàn)逐漸加強(qiáng)的趨勢(shì).
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);抽象函數(shù);解題技巧
一、賦值法
賦值法是把已知函數(shù)所滿足的所有性質(zhì),即一般性條件,賦予特殊的值,推出函數(shù)所必須滿足的其他性質(zhì).
例1已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(3)=0,對(duì)任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(6)成立,則f(2007)=().
A.2006
B.2007
C.2008D.0
解析f(-3)=0,取x=-3代入f(x+6)=f(x)+f(6),
得f(6)=0,f(x+6)=f(x),周期為6,選D.
例2(2005年重慶高考)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.
解(Ⅰ)取x=2,又f(2)=3,得
f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,即f(1)=1.
又f(0)=a,故f(f(0)-02+0)=a-02+0,
即f(a)=a.
(Ⅱ)又滿足f(x0)=x0的實(shí)數(shù)x0唯一.
由f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x可知
對(duì)任意x∈R有f(x)-x2+x=x0.
在上式中令x=x0有f(x0)-x02+x0=x0.
又f(x0)=x0得x0-x02=0.
故x0=0或x0=1.
若x0=0,方程f(x)=x有兩個(gè)根,故x0≠0.
若x0=1,則有f(x)=x2-x+1.
易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè).
“賦值法”是解抽象函數(shù)問(wèn)題最常用的方法,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題設(shè)條件合理賦值,賦值要有明確的目標(biāo)、依據(jù)和靈活的策略.
二、變換法
利用已知函數(shù)所滿足的一般性的關(guān)系式,通過(guò)變量代換,推出所要求的關(guān)系式.
例3下列命題正確的序號(hào)是.
① 若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;
② 若f(a+x)+f(a-x)=2c,則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,c)中心對(duì)稱;
③ 函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;
④ 函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(b-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.
解析①②③④都正確.
證明①②③證明略.
④ 設(shè)函數(shù)y=f(a+x)圖像上任意一點(diǎn)M(m,n),關(guān)于點(diǎn)Ab-a2,0對(duì)稱的點(diǎn)為N(b-a-m,-n),則
n=f(a+m),-f(b-(b-a-m))=-f(a+m)=-n,
所以y=f(a+x)圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)都在y=-f(b-x)的圖像上.
同理,y=-f(b-x)圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)都在y=f(a+x)的圖像上.命題正確.
三、抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題
例4已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,求f(x)解析式.
分析抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題一般用賦值法求解.
解∵函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,令x=1,y=0,
得f(1)-f(0)=2,∴f(0)=f(1)-2=-2.
在f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)中再令y=0得
f(x)-f(0)=x(x+1).
∴f(x)=f(0)+x(x+1)=x2+x-2.
∴f(x)=x2+x-2.
可以看出對(duì)不同類型的抽象函數(shù)問(wèn)題,可以用不同的求解策略,有時(shí)根據(jù)所給條件,可利用具體函數(shù)模型來(lái)尋求解題思路,或檢驗(yàn)解答是否正確,從而化抽象為具體,有利于問(wèn)題的解決.
【參考文獻(xiàn)】
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