一個(gè)基本模型背后的“深思”*

☉江蘇南師大附中新城初中 何君青☉江蘇南師大附中新城初中 陳敏婕

一個(gè)基本模型背后的“深思”*

☉江蘇南師大附中新城初中 何君青☉江蘇南師大附中新城初中 陳敏婕

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中最重要的環(huán)節(jié)就是以數(shù)學(xué)知識(shí)、技能為載體，滲透數(shù)學(xué)思想方法，從而讓學(xué)生體會(huì)一類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，這樣才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.筆者在長期的教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)有些類型的題目無論對(duì)作為新知識(shí)學(xué)習(xí)的學(xué)生還是經(jīng)過系統(tǒng)復(fù)習(xí)后面臨中考的學(xué)生來說都有一定困難，這類題特別值得關(guān)注.本文就以最短路徑問題與讀者交流，共同探討教學(xué)過程中的一些收獲.

一、基本模型

顧名思義，最短路徑問題其中有一類就是尋找兩條線段或多條線段的最小值問題.這類問題貫穿整個(gè)初中三年，從初一到初三都是?？紗栴}，在中考模擬題或中考題中也時(shí)常出現(xiàn)，此類題也是學(xué)生常錯(cuò)的問題.

這類問題的題源還要從一個(gè)課本練習(xí)題說起：

如圖1，A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在l上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小.

圖1

圖2

分析：先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′（如圖2），則PB=PB′.所以，求PA+PB的最小值相當(dāng)于求PA+PB′的最小值，故當(dāng)A、P、B′共線時(shí)AP+PB′的值最小.因此連接AB′，AB′與直線l的交點(diǎn)，就是點(diǎn)P.事實(shí)上，很多看似困難的最短路徑問題，都可以轉(zhuǎn)換成這個(gè)基本模型，利用上述方法使問題迎刃而解.

二、兩條線段的最短路徑問題

探究1：三角形中的最短路徑.

如圖3，在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是△ABC的高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，并求出最小值.

圖3

圖4

分析：上述問題可以轉(zhuǎn)換成模型：E、B在線段AD的同一側(cè)，在AD上求作一點(diǎn)，使得PE+PB最小.如圖4，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，則BP=CP，若使BP+ PE的值最小，即使CP+PE的值最小，當(dāng)C、P、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，滿足CP+PE的值最小，故連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是點(diǎn)P，由此可得BP+PE的最小值為

探究2：正方形中的最短路徑.

如圖5，正方形ABCD中，AB=2，E為BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線BD上找一點(diǎn)P，使CP+PE的值最小，并求出最小值.

圖5

圖6

分析：上述問題仍然可以轉(zhuǎn)換成模型：E、C在線段BD的同一側(cè)，在BD上找一點(diǎn)P，使PE+PC最小.如圖6，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，恰與點(diǎn)A重合，則AP=CP，若使EP+ CP的值最小，即使AP+PE的值最小，當(dāng)A、P、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，滿足AP+PE的值最小，故連接AE交BD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是點(diǎn)P，由此可得CP+PE的最小值為

探究3：菱形、矩形等圖形中的最短路徑.

如圖7，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使MP+PN的值最小，并求出最小值.

圖7

圖8

分析：如圖8，利用上述方法，可以很快求出PM+PN的最小值為5.

總結(jié)：通過探究1、探究2、探究3，我們可以發(fā)現(xiàn)在常見的軸對(duì)稱圖形中，解決最短路徑的問題往往是通過轉(zhuǎn)換成基礎(chǔ)模型的方法，再利用共線點(diǎn)的最小值來求得答案.

探究4：平面直角坐標(biāo)系中的最短路徑.

如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點(diǎn)D，使四邊形ABCD的周長最小，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____________.

圖9

分析：由于四邊形ABCD中AB、BC的長度保持不變，所以求四邊形ABCD周長的最小值就是求CD+AD的最小值，問題迅速轉(zhuǎn)換成基本模型：A、C在x軸的同一側(cè)，在x軸上求作一點(diǎn)，使DA+DC最小.故作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，則AD=A′D.若使CD+AD的值最小，即使得CD+ A′D的值最小，當(dāng)C、D、A′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+A′D的值最小，故連接A′C交x軸于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是點(diǎn)D，通過此思路可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).

探究5：圓中的最短路徑.

圖10

圖11

分析：如圖11，上述問題依然可以轉(zhuǎn)換成模型：A、B在線段CD的同側(cè)，在CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小.故可以作點(diǎn)B關(guān)于線段CD的對(duì)稱點(diǎn)E，根據(jù)圓的對(duì)稱性，點(diǎn)E在圓上，則PB=PE，若使BP+AP的值最小，即使AP+ PE的值最小，當(dāng)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，滿足AP+PE的值最小，故AE交CD于一點(diǎn)，這點(diǎn)便是點(diǎn)P.

三、三條線段的最短路徑問題

兩條線段的最短路徑問題通過上述幾個(gè)例子已經(jīng)掌握了其中的方法，只要將問題轉(zhuǎn)換成基本模型，便可以解決，如果換成三條線段的最短路徑問題，又該如何解決呢？

探究1：三角形周長的最短路徑.

如圖12，∠MON是銳角，它的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上作一點(diǎn)B，在ON上作一點(diǎn)C，使△ABC的周長最小.

圖12

圖13

分析：△ABC的周長由AB、BC、CA共同決定，先作出點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D，關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)E（如圖13），則BA=BD，CA=CE.從而求AB+BC+CA的最小值轉(zhuǎn)換成求DB+BC+CE的最小值，顯然當(dāng)D、B、C、E四點(diǎn)共線時(shí)DB+ BC+CE的值最小.因此DE與OM、ON的交點(diǎn)，就分別是點(diǎn)B、點(diǎn)C.

此題還可以具體化：

變式：∠MON=30°，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，OA=8，在OM上作一點(diǎn)B，在ON上作一點(diǎn)C，使△ABC的周長最小，并求出最小值.

探究2：四邊形周長的最短路徑.

如圖14，在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，3）、B（1，5）、C（0，a）、D（b，0）四點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，求a、b的值.

圖14

分析：由于四邊形ABCD中A、B兩點(diǎn)的位置已經(jīng)確定，故AB的長度保持不變，所以想求四邊形ABCD周長的最小值就是求BC+CD+DA的最小值，問題迅速轉(zhuǎn)換成模型：A、B兩點(diǎn)在∠yOx內(nèi)部，在y軸、x軸上分別求作點(diǎn)C、D，使BC+CD+DA最小.

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，根據(jù)對(duì)稱性可知AD= A1D，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，根據(jù)對(duì)稱性可知BC= B1C.若使BC+CD+DA的值最小，即使得B1C+CD+DA1的值最小，當(dāng)B1、C、D、A1四點(diǎn)在一條直線上時(shí)，滿足B1C+CD+ DA1的值最小，故連接A1B1，與y軸、x軸有交點(diǎn)，就是所求的點(diǎn)C、點(diǎn)D，于是先算出直線A1B1的解析式，便可得到點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，a、b的值也隨之得到.

四、實(shí)踐后的反思

1.關(guān)注數(shù)學(xué)問題的生長點(diǎn).

很多教師經(jīng)常會(huì)有這樣的困惑：上課時(shí)已經(jīng)提出了有價(jià)值的問題，很多學(xué)生卻掌握不了，該如何教學(xué)？其實(shí)，我們常常發(fā)現(xiàn)一些剛講過的問題學(xué)生很快就會(huì)忘掉，似乎在學(xué)生的記憶中從未留下“痕跡”，這主要是教學(xué)的過程中只關(guān)注了結(jié)果，并未關(guān)注過程所導(dǎo)致的.教學(xué)中，我們常告訴學(xué)生某個(gè)重要的結(jié)論，但卻忽略了知識(shí)的形成和發(fā)展過程，如上面的例子，題源學(xué)生都見過，但如何靈活運(yùn)用、怎么去運(yùn)用，與其他圖形又有什么聯(lián)系，卻并未讓學(xué)生自己思考過，那么這個(gè)數(shù)學(xué)問題的生長點(diǎn)就可謂未關(guān)注好，讓學(xué)生一開始就不會(huì)運(yùn)用，而讓他們?nèi)ソ鉀Q類似問題，這怎么能實(shí)現(xiàn)？故在教學(xué)的過程中，要注重對(duì)基本模型進(jìn)行深入研究、變式，這樣學(xué)生才會(huì)將一類問題理解透徹，逐漸讓這個(gè)問題生長起來，解決更多的問題.

2.關(guān)注自主的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).

任何一個(gè)常見模型都有其研究的必要，這類模型的選取可以中考題為主，也可以教材中的模型為主，教師在課前要進(jìn)行充分研究，上課時(shí)讓學(xué)生大膽提出自己的想法，每個(gè)學(xué)生都會(huì)有自己的想法，這樣不僅可以把問題研究得更透徹，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，漸漸進(jìn)入一個(gè)良性循環(huán)的狀態(tài).

弗萊登塔爾曾說過：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.故教師要善于尋找這些能挖掘、能研究的生長點(diǎn)，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去研究，實(shí)現(xiàn)高效課堂.

*本文系南京市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“‘跑班’分層模式下初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與考試評(píng)價(jià)研究”（課題編號(hào)：L/2015/ 181）的階段性成果.