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    “a為任意值時”的運用方法與技巧

    2017-03-10 08:10:39湖北秭歸縣實驗中學李萍
    中學數(shù)學雜志 2017年2期
    關鍵詞:代數(shù)式正數(shù)拋物線

    ☉湖北秭歸縣實驗中學 李萍

    “a為任意值時”的運用方法與技巧

    ☉湖北秭歸縣實驗中學 李萍

    受思維定式的影響,同學們容易解答有關常數(shù)或定值a的計算或證明題,但對于可以取任意值的a來說,一些同學常常無從下手、不知所措.其實,題目中告訴a為任意值時,或者告訴a為一定范圍內的任何值時,就等于告訴我們,此范圍中的a是可以取這個范圍中的每一個值的,或者說對此范圍中的每一個值都成立.把握了這一點,解題就有明確的方向了.下面以常見的四種類型為例加以說明.

    一、取特殊值法

    例1求證:不論a為何值,一次函數(shù)(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=0的圖像恒過一定點.

    分析:解決以“不論a為何值或a為任意實數(shù)”為條件的問題,可以取特殊值法.對于本題,可先取特殊值探求出定點,然后加以驗證即可.

    解:因為條件為不論a為何值,原一次函數(shù)的圖像都經過一定點,所以我們不妨取a=0和a=1這兩個特殊值來解答.

    當x=2、y=3時,(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=2(2a-1)-3(a+3)-(a-11)=0成立.

    所以不論a為何值,題中所給一次函數(shù)的圖像恒過定點(2,3).

    例2當a為任意實數(shù)時,下列各式都有意義的是().

    分析與解答:本題中,通過取特殊值,可以很快作出正確選擇.比如,取a=0時,選擇支A和B都不成立,再取a= 0.1時,選擇支C不成立,但這兩個值都可以使D成立,所以,本題的答案應該是D.取特殊值法是解答選擇題的一種常用方法.

    例3若3x2+4y-10=0,則15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=_______.

    分析:本題與例1和例2不同,對任意一個x的值,y都有一個唯一的值和它對應,反之亦然.所以,選取特殊值時,必須使x和y同時滿足二元不定方程3x2+4y-10=0,但這個二元不定方程的解有無數(shù)組,所以,取滿足這個二元不定方程一組特殊值的原則是:要求代入所求的代數(shù)式中便于計算.

    解:取二元不定方程3x2+4y-10=0的一組特殊的解代入待求式中,得15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-

    二、整體代入法

    對于例3,我們還可以利用整體代入法來解答.此題的常規(guī)解法是用因式分解的方法,湊出3x2+4y這個因式,利用3x2+4y-10=0得到3x2+4y=10,再整體代入求解.

    解:15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=(15x3+20xy)+(3x2y+4y2)+(3x2+4y)-50x-10y=5x(3x2+4y)+y(3x2+4y)+(3x2+4y)-50x-10y=50x+10y+10-50x-10y=10;

    或者15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=(3x2+4y-10)×(5x+y+1)+10=10.

    從第二種解答過程可以看出,本題還可以通過將原代數(shù)式化成“3x2+4y-10”這個整體的形式來解答.

    例4求證:a、b為任意實數(shù)時,代數(shù)式2a2+4b2+8a-8b+15的值總是正數(shù).

    分析:要使原代數(shù)式為正數(shù),將原代數(shù)式化成幾個非負數(shù)的和(即整體)的形式即可.

    證明:2a2+4b2+8a-8b+15=2(a2+4a)+4(b2-2b)+15= 2(a2+4a+4)+4(b2-2b+1)+3=2(a+2)2+4(b-1)2+3.

    由(a+2)2≥0,(b-1)2≥0,得2a2+4b2+8a-8b+15≥3>0.則代數(shù)式2a2+4b2+8a-8b+15的值總是正數(shù).

    三、分析推理法

    例5設a為任意有理數(shù),b為何值時有理系數(shù)方程2x2+(a+1)x-(3a2-4a+b)=0的根是有理數(shù)?

    分析:2x2+(a+1)x-(3a2-4a+b)=0是一個一元二次方程,要使它的根為有理數(shù),就必須使它的根的判別式是一個完全平方數(shù),我們可以由此而分析推理得出想要的結果.

    解:Δ=(a+1)2-4×2×[-(3a2-4a+b)]=a2+2a+1+24a2-32a+8b=25a2-30a+8b+1=(5a-3)2+8b-8.

    因為根是有理數(shù),a為任意有理數(shù),(5a-3)2是一個完全平方式,并且是一個隨a而變化的完全平方式,要使(5a-3)2+8b-8也為一個完全平方式,就只能是8b-8=0,由此求得b=1.

    例6如圖1,拋物線y=ax2+bx+c中,b、c是非零常數(shù),無論a為何值(0除外),其頂點M一定在直線y=kx+b上,這條直線和x軸、y軸分別交于點E、A,且OA=OE.

    (1)求k的值;

    (2)求證:這條拋物線經過點A;

    (3)經過點A的另一條直線y=mx+n和這條拋物線只有一個公共點,經過點M作x軸的平行線和直線y=mx+n交于點B,經過點B作x軸的垂線和這條拋物線交于點C,和直線y=kx+b交于點D,探索CD和BC的數(shù)量關系.

    分析:本題是一道代數(shù)綜合題,此類題常常是各地中考中的壓軸題.如果我們的解題方法不得當,就會因此浪費時間并無法解答.但若掌握了方法、技巧,我們就可以快速解答并達到最好的效果.因為a為任意值,我們不可能取到每一個值,所以就要分析a在題中的特殊作用,然后依據(jù)其特殊性推理出恰當?shù)姆椒▉?

    解:(1)由這條直線和x軸、y軸分別交于點E、A,且OA=OE,可知:

    A點的坐標為(0,b),E點的坐標為(-b,0).

    將A(0,b)、E(-b,0)代入y=kx+b,可得k=1.

    化簡得:(4c-4b)a=b2-2b.

    因為a為0以外的任何值時上述等式都成立,所以必有4c-4b=0和b2-2b=0同時成立.

    則c=b=0(舍去)或c=b=2.

    則A點的坐標為(0,2).

    則拋物線經過點A.

    另解:也可以取兩個特殊值得到點M的坐標,代入直線表達式y(tǒng)=kx+b,求出b、c的值.

    解這個方程組,同樣可得到c=b=0(舍去)或c=b=2.

    則A點的坐標為(0,2).

    則拋物線經過點A.

    (3)由題意:方程mx+n=ax2+2x+2的判別式Δ=(2-m)2-4a(2-n)=0,且n=b,則(2-m)2=0,則m=2.

    則BC=CD.

    四、取一般值法

    例7關于x、y的二元一次方程①:(a-1)x+(a+2)y+ 5-2a=0.

    (1)當a=1時,得方程②;當a=-2時,得方程③.求②③組成的方程組的解.

    (2)將求得的解代入方程①的左邊,得到什么結果?由此可得什么結論?并驗證你的結論.

    分析與解答:讀者千萬別小看了此題,第二問基本上很多老師既不會寫結論,也不會寫驗證方法.為了節(jié)約篇幅,下面邊分析邊解答.

    (1)當a=1時,得方程②:3y+3=0.

    當a=-2時,得方程③:-3x+9=0.

    (2)將x=3、y=-1代入方程①的左邊,得3(a-1)-(a+ 2)+5-2a=3a-3-a-2+5-2a=(3a-a-2a)+(-3-2+5)=0.

    至此,學生的解答結束了.但(2)中還有兩個“?”和一個“驗證”沒解決,而第二個“?”和一個“驗證”讓很多老師也為難了,這里先解決兩個“?”.

    第一個“?”:得到①式左邊的值為0;

    第二個“?”:取a為任意兩個不同的值代入①中,得到兩個二元一次方程,這兩個方程的公共解一定是

    “驗證”對師生來說難度就更大了,但題目給學生提供了思考問題的方法,取特殊值法,驗證的時候則需要反過來,即要一般化,此問實際上就是從特殊到一般的探究.驗證過程如下:

    取a=m代入①,得方程④:(m-1)x+(m+2)y+5-2m= 0.

    再取a=n(n≠m)代入①,得方程⑤:(n-1)x+(n+2)y+ 5-2n=0.

    ④-⑤,得(m-n)x+(m-n)y-2m+2n=0.

    即(m-n)x+(m-n)y=2(m-n).

    因為m≠n,所以得⑥:x+y=2.

    以上四種方法,給出了“a為任意值”題型解題的一般方法與技巧,希望讀者好好體會其中之真諦.

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