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    “數(shù)與形”教學(xué)思考

    2017-03-09 14:21鐘啟偉
    云南教育·小學(xué)教師 2016年11期
    關(guān)鍵詞:加數(shù)數(shù)形線段

    鐘啟偉

    在一次教學(xué)常規(guī)抽查中,幾位教師隨堂抽聽(tīng)了我執(zhí)教的“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”這一課,整節(jié)課我主要借助線段圖,引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握分?jǐn)?shù)除法的算理,緊扣教材與教學(xué)目標(biāo),分三步設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué):

    例題:小明小時(shí)走了2 km,小紅小時(shí)走了 km。誰(shuí)走得快些?

    1.教師先引導(dǎo)學(xué)生畫一條線段圖表示1小時(shí)走的路程,再讓學(xué)生思考:如何表示小時(shí)走了2千米這個(gè)條件?(學(xué)生通過(guò)畫圖、觀察,很容易就理解“將線段平均分成3份,其中2份表示的就是小時(shí)走的路程”,如下圖所示。)

    小明平均每小時(shí)走:

    2.指著圖啟發(fā):已知小時(shí)走了2千米,要求1小時(shí)走了多少千米,可以先算什么?再算什么?

    根據(jù)學(xué)生的思考交流,教師板書(shū)計(jì)算思路:

    先求小時(shí)走了多少千米,也就是2千米的。再求3個(gè)小時(shí)走了多少千米。

    2÷=2××3=2×

    結(jié)合算式,讓學(xué)生思考并說(shuō)說(shuō)每步求的是什么。

    3.觀察思考,小結(jié)算法:

    觀察:除法轉(zhuǎn)化成了什么運(yùn)算?什么沒(méi)有變化?什么變了?是怎樣變的?

    強(qiáng)調(diào):被除數(shù)沒(méi)有變,除法變成了乘法,除數(shù)變成了它的倒數(shù)。

    小結(jié):整數(shù)除以分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來(lái)計(jì)算。

    運(yùn)用方法的遷移,讓學(xué)生小組內(nèi)分析小紅每小時(shí)所走的路程。

    ……

    這只是一節(jié)比較普通的數(shù)學(xué)課,可課后有老師卻對(duì)我說(shuō),他們教很多年的書(shū),只知道分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法是用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)來(lái)計(jì)算,但一直不知道為什么要這樣算,通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),他們終于知道了為什么這樣算了?;蛟S是因?yàn)樗麄兒苌俳佑|小學(xué)高年級(jí)的數(shù)學(xué)教程,可從這個(gè)簡(jiǎn)單的事例中,讓我們進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的重要性。

    數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想,把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題,可以使復(fù)雜問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單,使抽象問(wèn)題變得更直觀。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)與形相結(jié)合的例子很多。有時(shí)候,圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律,可利用數(shù)的規(guī)律來(lái)解決圖形的規(guī)律,例如連點(diǎn)成線段,求線段總數(shù),就是利用數(shù)的規(guī)律來(lái)解決線段總數(shù)的問(wèn)題。有的時(shí)候是利用圖形來(lái)直觀地解釋一些抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí),讓人一目了然,如上述的事例,就是利用線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理,還有利用長(zhǎng)方形模型來(lái)理解分?jǐn)?shù)乘法的算理等。然而盡管在以前的學(xué)習(xí)中,出現(xiàn)很多有關(guān)數(shù)形結(jié)合的例子與練習(xí),學(xué)生結(jié)合“形”來(lái)分析問(wèn)題也有一定的基礎(chǔ),但由于教材中沒(méi)有系統(tǒng)的教學(xué)數(shù)與形的內(nèi)容,所涉及的練習(xí)也比較分散,所以學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的概念比較模糊,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決問(wèn)題時(shí)意義不大。“數(shù)與形”是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第107頁(yè)內(nèi)容,是教材新增內(nèi)容,共有2個(gè)例題,例2及后面編排的幾道練習(xí)題都屬于思考題甚至競(jìng)賽題。從內(nèi)容的編排上看,它突出了探索規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律的編排意圖,例如例1,通過(guò)計(jì)算和觀察1、1+3、1+3+5、1+3+5+7……既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律(從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)相加),又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律(都是連續(xù)的正方形數(shù)),例2也如此,在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上,通過(guò)推理,再引導(dǎo)學(xué)生把規(guī)律應(yīng)用于一般的情形,解決問(wèn)題。其次,在利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的過(guò)程中積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想。例如例題中,讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算+、++、+++……發(fā)現(xiàn)和越來(lái)越趨向于1,感受到什么叫作“無(wú)限接近”,同時(shí)也使學(xué)生在這一過(guò)程中體會(huì)推理和極限的思想。在教學(xué)時(shí),我認(rèn)為應(yīng)該從以下幾點(diǎn)進(jìn)行思考:

    1.把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái),相互印證,體會(huì)數(shù)學(xué)之美。在教學(xué)例1時(shí),先讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算1=1,1+3=4=22,1+3+5=9=32……使學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的和都是“平方數(shù)”,再把圖形與算式結(jié)合起來(lái),即如果用1個(gè)小正方形、3個(gè)小正方形、5個(gè)小正方形……拼一拼,可以拼出一些大小不一的大正方形,再呈現(xiàn)這些由小正方形拼成的大正方形。讓學(xué)生觀察兩個(gè)大正方形相差多少個(gè)小正方形,例如,邊長(zhǎng)是2的大正方形和邊長(zhǎng)是1的大正方形,相差3個(gè)小正方形;邊長(zhǎng)是3的大正方形與邊長(zhǎng)是2的大正方形,相差5個(gè)小正方形……相差的小正方形數(shù)正好是“┓”形中的小正方形的數(shù),使學(xué)生理解所看到的圖中的小正方形數(shù)還可以分別表示成1,1+3,1+3+5,……數(shù)形結(jié)合,使學(xué)生很清楚地看到這些連續(xù)的奇數(shù)在圖中的什么地方,平方數(shù)代表的又是什么,從而對(duì)規(guī)律形成了更直觀的認(rèn)識(shí),即每個(gè)大正方形中都隱藏著一個(gè)算式,1+3+5+…+(2n-1)=n的平方。像這樣把圖形與算式結(jié)合起來(lái),更能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。

    2.利用數(shù)形結(jié)合,使學(xué)生感受極限的思想。在教學(xué)例2時(shí),學(xué)生在計(jì)算時(shí)很容易發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律,即后一個(gè)加數(shù)是前一個(gè)的;和也有規(guī)律,即+=,++=,+++=……每次相加所得到和都等于1減去最后一個(gè)數(shù),加數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多,和越接近1。這些加數(shù)無(wú)限地加下去,最后的和無(wú)限接近于1,但這個(gè)“無(wú)限”接近于1的數(shù)到底是多少呢?“無(wú)限”的概念非常抽象,學(xué)生不容易理解,如果教師只是僅僅用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和,是很難證明無(wú)限多項(xiàng)相加的結(jié)果為1。此時(shí)教師可以出示一個(gè)圓、一條線段或者一個(gè)正方形表示單位“1”,讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義在圖上表示出這些加數(shù),讓學(xué)生直觀地看到最終的結(jié)果是“1”,這樣一來(lái),學(xué)生不僅能感受到“化數(shù)為形”的直觀、形象、簡(jiǎn)捷的特點(diǎn),也比較容易理解當(dāng)一個(gè)數(shù)無(wú)限趨近于1時(shí),其結(jié)果就是1,一個(gè)極其抽象的極限問(wèn)題,由于用圖形來(lái)解決,就變得十分簡(jiǎn)單了。

    3.鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去尋找規(guī)律。小學(xué)階段,雖然不要求寫出一個(gè)數(shù)列的通式,但可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法,利用圖形的規(guī)律,從不同的角度,用自己的語(yǔ)言描述出數(shù)列的通用模式。如,第109頁(yè)第1題,根據(jù)例1的結(jié)論,很容易得到第n個(gè)圖形中最外圍的小正方形數(shù)為:(2n+1)2-(2n-1)2,也可以從結(jié)果看到第一個(gè)圖最外圈有8個(gè)小正方形,第二個(gè)圖最外圈有8×2個(gè)小正方形,第三個(gè)圖最外圈有8×3個(gè)小正方形……通過(guò)推理,可知第n個(gè)圖最外圈就有8×n個(gè)小正方形,每一次都是在前一個(gè)圖的基礎(chǔ)上增加8個(gè)小正方形。還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:每次多的這8個(gè)小正方形都是怎么來(lái)的?使學(xué)生觀察到是由于每邊增加2個(gè)小正方形所產(chǎn)生的。

    總之,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法,可以將抽象的問(wèn)題具體化,把無(wú)形的解題思路形象化,不僅有利于學(xué)生順利地、高效率地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí),更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開(kāi)發(fā)、能力的增強(qiáng),使學(xué)生學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果。

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