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    “借形解數(shù)”:進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力

    2017-03-09 14:13:12蔣碧云
    云南教育·小學(xué)教師 2016年11期
    關(guān)鍵詞:算式正方形直觀

    蔣碧云

    幾何直觀在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著非常重要的作用。它不但可以幫助學(xué)生理解和解決幾何問(wèn)題,而且可以用來(lái)描述和分析數(shù)與代數(shù)的問(wèn)題,使數(shù)與代數(shù)中一些抽象的問(wèn)題直觀化,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。數(shù)學(xué)家徐利治教授認(rèn)為:幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系,產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。教材中有許多數(shù)與代數(shù)的知識(shí)點(diǎn),可以借助幾何直觀,讓學(xué)生從全新的角度重建相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu),展開(kāi)一系列具有想象力和創(chuàng)造力的探索活動(dòng),意義非凡。現(xiàn)以“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”為例,談?wù)勅绾巍敖栊谓鈹?shù)”:進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

    一、將數(shù)轉(zhuǎn)譯成形,豐富直觀感知

    幾何直觀是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識(shí)事物的能力,或者說(shuō)是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法。也就是通過(guò)幾何直觀的感知能夠建立起人對(duì)自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可以將數(shù)轉(zhuǎn)譯成形,豐富直觀感知?!敖鉀Q問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”的例題是一道特殊的分?jǐn)?shù)連加,學(xué)生嘗試計(jì)算時(shí)都會(huì)采用先通分再相加的方法,如何才能使學(xué)生想到把復(fù)雜的加法算式轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的減法來(lái)計(jì)算,是本題的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。教師可以利用此類(lèi)題目的特點(diǎn),先讓學(xué)生從觀察算式入手,發(fā)現(xiàn)算式的特殊性,再出示更復(fù)雜的算式讓學(xué)生產(chǎn)生探索簡(jiǎn)單方法的需要,最后引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)的言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化成表象表征。在這里將數(shù)轉(zhuǎn)譯成圖形是解題的關(guān)鍵,教師要巧妙地讓學(xué)生把圖形和算式聯(lián)系起來(lái)想一想,結(jié)合圖形多角度探究簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。

    出示例題:+++。

    師:請(qǐng)同學(xué)們觀察算式,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    發(fā)現(xiàn)1:4個(gè)分?jǐn)?shù)連加,每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1;

    發(fā)現(xiàn)2:分母是有規(guī)律排列的,依次是2、2×2、2×2×2、2×2×2×2;

    發(fā)現(xiàn)3:合起來(lái)看,是的一半,是的一半,是的一半;

    ……

    小結(jié):像這樣從起,依次加上前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半的連加算式,你會(huì)計(jì)算嗎?

    學(xué)生幾乎異口同聲:先通分再計(jì)算。

    師:同學(xué)們,學(xué)得不錯(cuò)。你們其實(shí)已經(jīng)用上了一種解決問(wèn)題的策略。把異分母分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成了同分母分?jǐn)?shù)加法,也就是先通分再相加。如果按加數(shù)的排列規(guī)律,再加上3個(gè)分?jǐn)?shù),你們準(zhǔn)備怎么計(jì)算?

    出示:++++++。

    生:先通分再相加。

    師:還是先通分再計(jì)算,那如果一直加到呢?還打算先通分再計(jì)算嗎?

    生:不愿意。

    師:為什么不愿意?

    生:太麻煩了!老師是否有簡(jiǎn)便的算法呢?

    師:既然是分?jǐn)?shù)連加,同學(xué)們還記得學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)可以怎樣得到嗎?

    生:可以把正方形看作單位“1”,平均分成2份,涂色部分就占正方形的。(師根據(jù)學(xué)生的回答依次出示直觀圖)

    再分別表示出、、,接著運(yùn)用動(dòng)畫(huà)效果疊加在一起。(如上圖)

    師:圖中哪部分表示這些分?jǐn)?shù)的和?

    生:所有涂色部分表示這些分?jǐn)?shù)的和。

    師:把算式和圖形聯(lián)系起來(lái)想一想,這個(gè)加法算式能轉(zhuǎn)化成哪個(gè)算式來(lái)計(jì)算?

    生:可以用正方形面積減去空白部分的面積,即+++=1-。

    師:那“1”是指什么?“”又是指什么?

    生:“1”是指整個(gè)正方形面積,“”是指空白部分的面積。從圖中我們可以看出,要求這些分?jǐn)?shù)的和,還可以用單位“1”減去空白部分,也就是用1-來(lái)計(jì)算。

    二、喚醒已有認(rèn)知,加強(qiáng)直觀推理

    直觀推理作為一種滲透力極強(qiáng)的思維形式,可以說(shuō)是數(shù)學(xué)直觀的精髓。教師要為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì),鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀進(jìn)行分析、想象和推理,充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題過(guò)程中的作用,這是一種行之有效的發(fā)展學(xué)生思維的方法。就學(xué)生來(lái)說(shuō),如果沒(méi)有轉(zhuǎn)化意識(shí),一般不會(huì)主動(dòng)考慮把問(wèn)題由繁向簡(jiǎn)、由難向易地轉(zhuǎn)化;如果有轉(zhuǎn)化的愿望,但找不到轉(zhuǎn)化的具體方向,仍然不會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略。

    如,教學(xué)練一練2:連續(xù)自然數(shù)相加。教師先出示一個(gè)梯形圖幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)化方法,利用這幅圖創(chuàng)設(shè)積極有趣的探究氛圍,喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知,利用直觀進(jìn)行推理,從而了解為什么可以這樣轉(zhuǎn)化。

    出示梯形圖,讓學(xué)生說(shuō)信息。

    師:請(qǐng)根據(jù)梯形圖說(shuō)說(shuō)你知道的信息。

    生:第一層裝了6支,第二層裝了7支,第三層裝了8支,依此類(lèi)推,共裝了10層,筆架里一共有多少支鉛筆?

    師:用加法計(jì)算怎樣列式?

    生:6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。

    師:這個(gè)加法算式有什么特點(diǎn)?

    生:連續(xù)自然數(shù)相加。

    師:是的,每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間相差1,這樣的加法我們稱(chēng)它為連續(xù)自然數(shù)相加。

    師:把梯形圖和算式聯(lián)系起來(lái)想一想,這個(gè)算式可以轉(zhuǎn)化成哪個(gè)算式來(lái)計(jì)算。

    生:(6+15)×10÷2。

    師:你根據(jù)什么想到的?

    生:梯形的面積計(jì)算公式。

    師:那我們就來(lái)回憶一下梯形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)的?

    生:再來(lái)一個(gè)完全一樣的梯形筆架,兩個(gè)梯形筆架拼成了一個(gè)平行四邊形筆架。(如下圖)

    師:現(xiàn)在你會(huì)借助這幅圖,解釋一下為什么可以這樣轉(zhuǎn)化嗎?

    生:每層有21支鉛筆,共有這樣的10層,共有21×10=210(支),要求其中一個(gè)梯形筆架的鉛筆支數(shù),再除以2就好了。

    師歸納:你的推理能力真強(qiáng),借助圖這個(gè)好幫手把連續(xù)自然數(shù)相加轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)相加就可以用乘法來(lái)計(jì)算,轉(zhuǎn)化后的算式口算就可得出答案。

    反思這道題的解答過(guò)程,我們可以提出:在幫助學(xué)生鞏固面積推導(dǎo)過(guò)程的同時(shí),也鼓勵(lì)了學(xué)生借助直觀進(jìn)行觀察、比較、分析和歸納,展開(kāi)了有效的直觀推理,拓展了轉(zhuǎn)化意識(shí)。把連續(xù)自然數(shù)相加轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)相加,非常簡(jiǎn)便。讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系,獲得正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。

    三、借助幾何圖形,探索數(shù)學(xué)規(guī)律

    數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:要有目的、有計(jì)劃地教給學(xué)生利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法,鼓勵(lì)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中主動(dòng)運(yùn)用畫(huà)圖的策略,幫助學(xué)生不斷積累借助圖形直觀分析和解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。實(shí)踐證明,借助幾何直觀,可以促使學(xué)生更有成效地展開(kāi)數(shù)學(xué)思考,發(fā)現(xiàn)并歸納一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律,使思維逐步轉(zhuǎn)向更高級(jí)、更抽象的層面。教師應(yīng)巧妙地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式自主發(fā)現(xiàn)有用的圖形,借助自己發(fā)現(xiàn)的圖形,展開(kāi)一系列有價(jià)值的思考,從而探索出數(shù)學(xué)規(guī)律。

    如,練習(xí)題:1+3+5+7+9+11和1+3+5+7+9+11+13+15+

    17+19。

    學(xué)生嘗試練習(xí),大多數(shù)學(xué)生都會(huì)這樣轉(zhuǎn)化:1+3+5+7+9+11=(1+11)×5÷2,1+3+5+7+9+11+13+15+

    17+19=(1+19)×10÷2,此時(shí)老師可根據(jù)題目的特征進(jìn)行啟發(fā),是否還有更簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化方法,還要借助誰(shuí)?學(xué)生自然想到了借助圖,于是一個(gè)自主擺圖,針對(duì)性強(qiáng)的探索活動(dòng)開(kāi)始了。

    師:圖在你們手上呢,請(qǐng)拿出那疊小正方形。先擺出1,再用藍(lán)色和橙色正方形紙擺出1+3,要求是:邊擺邊思考,根據(jù)擺出的圖形是否能把1+3轉(zhuǎn)化成別的算式呢?一般出現(xiàn)兩種擺法。

    師:出現(xiàn)了2種方法,請(qǐng)同學(xué)們觀察,哪種擺法能找到轉(zhuǎn)化的靈感?

    生:第2種。

    師:你是怎么發(fā)現(xiàn)的?這兩種擺法分別可以怎么計(jì)算小正方形的總個(gè)數(shù)?

    生:因?yàn)楦鶕?jù)第2種擺出的正方形可以把“1+3”轉(zhuǎn)化成“2×2”,第1種擺出的圖形還是只能用“1+3”計(jì)算小正方形的總個(gè)數(shù)。

    師:真了不起!接下來(lái)就要借助你們的圖形誕生新的轉(zhuǎn)化方法了!

    小組合作完成。

    擺一擺:請(qǐng)用小正方形擺出1+3+5的圖,并結(jié)合圖思考:1+3+5轉(zhuǎn)化?

    想一想:試著想象小正方形擺出1+3+5+7的圖,并思考:1+3+5+7轉(zhuǎn)化?

    議一議:從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加轉(zhuǎn)化?

    匯報(bào)歸納:現(xiàn)在我們可以說(shuō)從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加還可以轉(zhuǎn)化為:個(gè)數(shù)×個(gè)數(shù)。

    四、利用直觀表征,激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

    利用直觀圖形表征數(shù)學(xué)問(wèn)題,能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境信息及其關(guān)系的理解,能夠幫助學(xué)生從整體上把握問(wèn)題,探究正確的解題思路,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在解題過(guò)程中,學(xué)生借助示意圖或線段圖來(lái)表征問(wèn)題情境的成分和結(jié)構(gòu),以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)性的理解,為學(xué)生提供一些未經(jīng)解釋或形式轉(zhuǎn)換就可被察覺(jué)的有用信息,促進(jìn)問(wèn)題的解決。

    如,練習(xí)十六中的第6題,可讓學(xué)生自主用直觀來(lái)表征本題的信息,達(dá)到理解單場(chǎng)淘汰制的目的,重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考更加簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。

    出示練習(xí):有8支足球隊(duì)參加比賽,比賽以單場(chǎng)淘汰制(即每場(chǎng)比賽淘汰一支球隊(duì))進(jìn)行。一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍?

    師:什么叫單場(chǎng)淘汰制?你能用自己方式表示嗎?

    全班的表示方法大致有兩種。(如下圖)

    生解釋左圖:兩支球隊(duì),勝出一支,逐個(gè)比賽(師相應(yīng)出示)。

    生解釋右圖:我也可以仿照例1的畫(huà)圖法,最后產(chǎn)生一個(gè)冠軍。

    師:勝出4支,那淘汰了幾支隊(duì)伍?你能依此類(lèi)推,求出總場(chǎng)數(shù)嗎?

    生:4+2+1=7(場(chǎng))。

    師:這兩幅圖幫助我們理解題意求出答案,觀察圖,你還想到其他的做法嗎?

    生:8-1=7(場(chǎng))。

    師:說(shuō)說(shuō)你的理由。

    生:根據(jù)圖,我們可以換個(gè)角度思考,把要求的問(wèn)題“一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍?”轉(zhuǎn)化成求“一共要淘汰多少支球隊(duì)才能產(chǎn)生冠軍?一共8支球隊(duì),只產(chǎn)生一個(gè)冠軍,應(yīng)淘汰7支球隊(duì)。算式是8-1=7(場(chǎng)),所以一共要進(jìn)行7場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍”。

    這樣一個(gè)具有較強(qiáng)現(xiàn)實(shí)性和趣味性的問(wèn)題,不僅能使學(xué)生從全新的角度體驗(yàn)畫(huà)圖策略的作用,進(jìn)一步明確幾何直觀的優(yōu)勢(shì),更有利于啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析生活現(xiàn)象,在解決問(wèn)題的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

    本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容都是針對(duì)具體問(wèn)題尋找合適的轉(zhuǎn)化方法,關(guān)鍵都在于能否準(zhǔn)確判斷向何處轉(zhuǎn)化以及怎樣實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化。這個(gè)關(guān)鍵就需借助幾何直觀來(lái)突破,學(xué)生在活動(dòng)中多次體會(huì)到幾何直觀帶來(lái)的好處,通過(guò)自主探究和合作交流,發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造了數(shù)學(xué)知識(shí),獲得了對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解,更讓我們看到了學(xué)生頭腦里的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“數(shù)學(xué)理解”。正如波利亞所說(shuō):“圖形不僅是幾何題目的對(duì)象,而且對(duì)幾何一開(kāi)始沒(méi)什么關(guān)系的題目,圖形也是一種重要的幫手。”

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