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    巧妙聯(lián)結(jié)圖形發(fā)展數(shù)學(xué)思維

    2017-03-09 14:11:35王琴芳
    云南教育·小學(xué)教師 2016年11期
    關(guān)鍵詞:因數(shù)數(shù)形長方形

    王琴芳

    在數(shù)學(xué)教學(xué)中,既要分析數(shù)的意義,又要揭示幾何直觀,使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧結(jié)合在一起,充分利用這種結(jié)合尋找解題思路,使問題化難為易,化繁為簡。數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想。它是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想,又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。合理地利用圖、形,不僅符合小學(xué)生的直觀形象思維占主導(dǎo)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ),而且能起到事半功倍的效果。

    一、借助主題圖,因勢利導(dǎo),清晰算理

    例題是課堂教學(xué)的重要資源,教材的主題圖更是占據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的突出地位。它在教學(xué)中起的作用不僅僅是引出算式,而要精心使用,讓它發(fā)揮充分的作用,使教學(xué)得以順利展開。

    如,教學(xué)“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算”時(shí),出示了一幅情境圖。很多老師都有這樣的失敗經(jīng)歷,學(xué)生列出算式后,只能想出“12×1=12,再在12末尾添加一個(gè)0”的方法,而且對(duì)于這種方法的算理也一知半解。盡管不少老師不斷地啟發(fā):“還有別的方法嗎?”可始終沒有回應(yīng),最后老師只得自己自說自話,顯得十分被動(dòng)。

    反過來審視這幅主題圖,如果僅僅是引出12×10這樣一個(gè)算式,那完全只需要出示上面的文字即可,下面的圖到底有何用處呢?細(xì)細(xì)看來,書中的幾種方法介紹無疑都可以從圖上來產(chǎn)生。于是,成功的案例產(chǎn)生了。

    師:同學(xué)們觀察一下主題圖(用手指向李叔叔手中的一箱和堆著的9箱),你想到了什么方法?

    生1:我想到了,可以先算12×9=108,再算108+12=120。

    師:你是怎么想到的?

    生1:你看呀,我先算的是已經(jīng)堆在那里的9盒,再加上李叔叔手里的一盒,正好就是10盒了。

    師:這位同學(xué)能借助圖來思考,把10盒看成了9盒加1盒,真不錯(cuò)!

    生2:我還有辦法。先算12×5=60,再算60×2=120。也就是先算右邊的5盒,左邊和右邊一樣,就再乘2。

    學(xué)生聽了,紛紛點(diǎn)頭表示同意。

    生3:還有,還有,我先把每盒看成10個(gè),那么就是10個(gè)10是100,再想每盒還多出2個(gè),就用2×10=20,然后把100+20=120。

    ……

    小學(xué)生的思維還是以直觀形象思維為主,尤其是第一學(xué)段的學(xué)生。上述案例如果僅僅讓學(xué)生回想學(xué)過的計(jì)算來轉(zhuǎn)化新問題,難度很大。教師應(yīng)充分利用教材直觀圖的資源——用圖形、符號(hào)來體現(xiàn)題中的信息、關(guān)系,把主要成分全面而直觀地展示出來,就能讓學(xué)生順利地由“圖”想“式”,理解算理,掌握算法,發(fā)展形象思維。

    二、借助原始圖,由形及數(shù),自主建構(gòu)

    數(shù)學(xué)概念是知識(shí)教學(xué)中的重要組成部分。但它的抽象性、枯燥性使得教學(xué)效果不盡如人意。借助直觀的圖形可以將概念教學(xué)具體化、形象化,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū),讓學(xué)生在輕松的氛圍中理解概念的形成過程。

    案例A:以筆者聽的“倍數(shù)與因數(shù)”一課為例。

    1.教師先讓學(xué)生用12個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長方形,填入下表:

    2.教師示范說12是4的倍數(shù),12也是3的倍數(shù),3和4都是12的因數(shù)。

    ……

    當(dāng)出現(xiàn)“你能找出36的所有因數(shù)嗎?”這個(gè)問題時(shí),學(xué)生往往顯得無所適從。班內(nèi)能按照一定方法寫的學(xué)生寥寥無幾,任憑教師等待與點(diǎn)撥,也只有班內(nèi)幾名優(yōu)秀學(xué)生舉手發(fā)言,還未答到點(diǎn)子上。

    為什么課堂在此時(shí)就變得沉悶,很不通暢?究其原因,學(xué)生對(duì)倍數(shù)和因數(shù)概念一直停留于乘法算式上,對(duì)倍數(shù)和因數(shù)的獲取缺乏必要的依托。教師把12個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長方形僅僅作為了倍數(shù)、因數(shù)的引子。其實(shí)教師可以依托于擺長方形的過程來進(jìn)行教學(xué)。

    1.先引導(dǎo)觀察12的因數(shù)有1,12,2,6,3,4。問:想一想12的因數(shù)還有其他的嗎?

    師:通過擺小正方形的過程就可以找到12的因數(shù),那么36的因數(shù)可以怎么想?

    2.引導(dǎo)學(xué)生也想象擺小正方形的過程。

    因?yàn)樵谧穯柕倪^程中滲透了求36的因數(shù)的方法,當(dāng)我問:求36的因數(shù)只要怎么想?學(xué)生就會(huì)說:只要想( )×( )=36或36÷( )=( )。

    以上環(huán)節(jié)中,通過用36個(gè)小正方形擺1、2、3、4、6排的過程,以圖形來幫助學(xué)生建立形象的數(shù)學(xué)模型,從而加深學(xué)生對(duì)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的理解。借助形的直觀具體,使比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、生動(dòng)的事物,學(xué)生接受自然,方法習(xí)得水到渠成。教學(xué)實(shí)踐證明:在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化,找到了概念的本質(zhì)特征,激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)了求新、求異意識(shí),發(fā)展了有序思維。

    三、借助線段圖,推陳出新,拓寬思路

    線段圖是采用數(shù)形結(jié)合的方式表示事物之間的數(shù)量關(guān)系,它可以使抽象問題具體化、復(fù)雜關(guān)系明朗化,為正確解題創(chuàng)造條件。將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合起來,通過對(duì)圖形的處理,發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用,揭示“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系,是實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化,發(fā)展學(xué)生思維的有效途徑。

    如,解決復(fù)雜實(shí)際問題:張老師要買一臺(tái)打印機(jī),王老師要買一件毛衣。打印機(jī):800元/臺(tái)。毛衣:200元/件。商場促銷活動(dòng),如果購買500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。問:兩位老師合買比分買可以省多少錢?

    方法一:多數(shù)同學(xué)的解題方法:

    分開購買所花的錢數(shù):(800-500)×80%+500+200=940(元);

    合著購買所花的錢數(shù):(800+200-500)×80%+500=900(元);

    合買比分買所省錢數(shù):940-900=40(元)。

    方法二:一名學(xué)生的解題方法:

    200×(1-80%)=40(元)

    當(dāng)時(shí)很多同學(xué)不理解第二種算法,于是教師請(qǐng)這名學(xué)生進(jìn)一步解釋。

    生:合買與分開買別的地方都沒有變,區(qū)別只是少花了一個(gè)200元的(1-80%),所以可以直接用200×(1-80%)=40(元)來進(jìn)行計(jì)算。

    這名學(xué)生解釋完后,大多數(shù)學(xué)生仍然很茫然,沒有理解方法二的道理。

    于是引入線段圖對(duì)比呈現(xiàn)兩種方法所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

    通過線段圖,將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單明了,將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化,變“看不見”為“看得見”,學(xué)生清晰直觀地看到合買與分買的區(qū)別,從圖中直觀地看出真正省的其實(shí)就是200元的20%是40元。

    美國著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過:“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么,思想就整體把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?!鄙鲜霭咐柚媹D,動(dòng)態(tài)地展示了如何將問題“轉(zhuǎn)化”成圖像的過程,通過想象把抽象的文字符號(hào)形象化、具體化,理解了數(shù)量關(guān)系;線段圖的介入,使得數(shù)形結(jié)合啟發(fā)學(xué)生展開發(fā)散思維,產(chǎn)生出奇特的思路,發(fā)展創(chuàng)新思維。

    四、借助平面圖,究其錯(cuò)因,辨析算理

    在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中,有相當(dāng)部分的內(nèi)容是計(jì)算問題,但在教學(xué)中很多老師忽視了引導(dǎo)學(xué)生理解算理,尤其在課改之后,老師們注重了算法多樣化,忽視了算理的理解。在教學(xué)時(shí),教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理,在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法,正所謂“知其然、知其所以然”。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同,引導(dǎo)學(xué)生理解算理的策略也是不同的,數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生清晰算理的一種良好方式。

    如,計(jì)算25.3×4.2,出現(xiàn)這樣的算法:

    25.3×4.2

    =25×4+0.3×0.2

    =100+0.06=100.06

    一般教師都會(huì)強(qiáng)調(diào):A.有些同學(xué)可能誤以為是加法了,乘法與加法是不一樣。

    25.3+4.2

    =(25+4)+(0.3+0.2)

    =29+0.5

    =29.5

    B.可以用豎式驗(yàn)算:

    2 5 . 3

    × 4 . 2

    5 0 6

    1 0 1 2

    1 0 6 . 2 6

    這樣的教學(xué)只能讓學(xué)生知道不能這樣做,而不知道為什么不能這樣做。如何合理地利用錯(cuò)誤,轉(zhuǎn)化成資源呢?不妨聯(lián)系長方形面積計(jì)算來想:

    25 0.3

    師:想一想:25.3×4.2算的是哪個(gè)長方形的面積,而上面同學(xué)的拆分算的又是哪幾部分的面積,錯(cuò)在哪里?應(yīng)該怎么糾正?

    生1:我們要算的是整個(gè)大長方形的面積,而上面同學(xué)算的只是兩塊陰影部分長方形面積,少算了兩個(gè)白長方形的面積。

    生2:如果要改,還要再加上0.3×4和0.2×25才行。

    上述案例,借助長方形面積計(jì)算的平面圖,讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)初始計(jì)算有錯(cuò),直觀地感受到算理的錯(cuò)因,減少了教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法的時(shí)間,讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。數(shù)形結(jié)合,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合起來,通過對(duì)圖形的處理,發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用,揭示“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化,發(fā)展學(xué)生的思維。

    “數(shù)”與“形”是同一事物兩種不同的表示方法,“數(shù)”是“形”的高度抽象,“形”是“數(shù)”的具體體現(xiàn)。學(xué)會(huì)有效利用數(shù)、圖、形、式結(jié)合的方式,可把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化,讓抽象的數(shù)量關(guān)系、解題思路形象地外顯,易于學(xué)生理解;可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形的性質(zhì)很好地進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使解題思路和過程具體化,更好地展現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)過程;可將復(fù)雜的問題簡單化,在解決問題的過程中,提升學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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