高中數(shù)學(xué)中實(shí)施“分離參數(shù)”思想的策略研究

分離參數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的一種常用的方法，有極為重要、廣泛的應(yīng)用.筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問(wèn)題，尤為喜歡這種方法.因?yàn)椴簧賳?wèn)題，若對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論往往比較繁瑣，且如何分類，分類后如何解決問(wèn)題也是一大難點(diǎn).因此，教師對(duì)分類討論進(jìn)行必要的講解之后，對(duì)分離參數(shù)這一數(shù)學(xué)思想方法要進(jìn)行必要的梳理，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性和學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.筆者發(fā)現(xiàn)，目前雖有一些文章討論這一思想，但大都研究不夠深入，或掛一漏萬(wàn)，或避重就輕.基于此，筆者重新梳理了分離參數(shù)這一數(shù)學(xué)思想方法，并以近年的高考題、模擬題為例，談?wù)劰P者的看法和體會(huì)，現(xiàn)分析如下，供大家參考.1如何分離參數(shù)

對(duì)很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，分離參數(shù)能有效地提高解題效率.因此如何實(shí)現(xiàn)參變分離，是問(wèn)題解決的關(guān)鍵.筆者通過(guò)整理各類試題，發(fā)現(xiàn)大部分問(wèn)題都能直接分離，但對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，則需要細(xì)致觀察，通過(guò)實(shí)施適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形把參數(shù)分離出來(lái).然后再通過(guò)各種手段使問(wèn)題得到圓滿的解決.1.1直接型

點(diǎn)評(píng)本題可直接把參數(shù)分離出來(lái)，但是分離后問(wèn)題的難度較大.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，本題兩處含有a+1，故可實(shí)施配湊策略，把a(bǔ)+1分離出來(lái).通過(guò)這樣的技術(shù)處理之后，問(wèn)題便豁然開朗.

2分離參數(shù)后如何處理新問(wèn)題

分離參數(shù)是解決問(wèn)題的第一步，分離后如何處理新的問(wèn)題則是又一迫切需要解決的問(wèn)題.筆者認(rèn)為，成功分離參數(shù)后的主要任務(wù)就是構(gòu)造函數(shù)，并求解函數(shù)的最值（上界或下界）.但不同問(wèn)題，處理起來(lái)的難度是不一樣的.對(duì)于較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，分離之后可直接構(gòu)造函數(shù)，而且函數(shù)的最值的求解往往也較為簡(jiǎn)單.但對(duì)于一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)募夹g(shù)處理.如求解最值時(shí)，可通過(guò)多次求導(dǎo)，通過(guò)細(xì)致的分析求出函數(shù)的最值，也可進(jìn)行放縮，利用放縮前后的函數(shù)的最值在同一自變量處取得最值求解.還可通過(guò)高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則求解一類極限值，而這個(gè)極限值就是所需要求的上界或下界.還可避免超綱的洛必達(dá)法則，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解這一極限值.下面通過(guò)舉例說(shuō)明.2.1簡(jiǎn)單直接型

通過(guò)分離參數(shù)之后，不少問(wèn)題（如本文中的例1）可用直接構(gòu)造函數(shù)解答.限于篇幅，這里不再贅述.

2.2利用多次求導(dǎo)

例6（廣東省東莞市2014年元月高三調(diào)研測(cè)試）已知函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[JB（（]-∞，-[SX（]2[]ln3[SX）][JB）]].

點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)分離參數(shù)后，g（x）的最小值無(wú)法直接解決，但通過(guò)二次求導(dǎo)，可判斷出函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，從而求出h（x）的最大值，并判斷出g′（x）的符號(hào)，最終實(shí)現(xiàn)g（x）的最小值的求解.這種多次求導(dǎo)的思想，在高考題中屢屢出現(xiàn)，值得我們關(guān)注.2.3利用放縮法

放縮法是證明不等式的一大利器，受定勢(shì)思維影響，很多人認(rèn)為放縮法不能用來(lái)求最值，事實(shí)并非如此，實(shí)際上，若能利用放縮前后的函數(shù)在同一自變量處取得最值，則能突破解題瓶頸.下面給出應(yīng)用放縮法解答例6的另一解法.

點(diǎn)評(píng)本題的難點(diǎn)在于得出函數(shù)g（x）在[JB（（]1，+∞[JB））]單調(diào)遞增后，函數(shù)g（x）在x=1時(shí)的極限值的求解，本文使用了導(dǎo)數(shù)的定義，既避免了繁瑣的分類討論，又沒有使用超綱的洛必達(dá)法則，且整個(gè)解答過(guò)程極為簡(jiǎn)潔，無(wú)疑是一種值得推廣的好方法！3分離思想之類比延伸

分離參數(shù)的核心思想在于“分離”，因此，若能抓住這一數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵，則能利用類比延伸的方法使這一核心思想得到更為廣泛的應(yīng)用.筆者通過(guò)整理資料發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)中，分離參數(shù)時(shí)除了成功地利用了“分離”的技巧外，“分離”思想還能進(jìn)一步發(fā)揚(yáng)光大，在其它數(shù)學(xué)問(wèn)題中也有極為重要的應(yīng)用，常見的成功使用“分離”技巧還有分離常數(shù)法和分離函數(shù)法，下面通過(guò)具體案例說(shuō)明之.3.1分離常數(shù)

故原不等式得證.

點(diǎn)評(píng)本題雖不含參數(shù)，但直接構(gòu)造函數(shù)要進(jìn)行較為復(fù)雜的分類討論，但在通過(guò)實(shí)施分離函數(shù)的技巧后，把含有ex與lnx一分為二后，問(wèn)題便化難為易.筆者發(fā)現(xiàn)，在同時(shí)含有ex與lnx的函數(shù)問(wèn)題中，分離函數(shù)的技巧具有一定的通性通法.

通過(guò)以上的案例說(shuō)明，一種數(shù)學(xué)思想方法，若能進(jìn)行細(xì)致的分析和發(fā)掘，是有新的發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)的.而且通過(guò)探究，不僅能提高教師的教學(xué)研究能力水平，還能很好地為教學(xué)服務(wù)，在提高教師教學(xué)的高效性的同時(shí)，也能提高教師的技能.如本文所研究的分離參數(shù)思想，從分離的策略，分離后問(wèn)題的解決，無(wú)不顯示出數(shù)學(xué)思想的精髓所在.因此，在教師在平時(shí)的教學(xué)之余，要多研究一些問(wèn)題，多作一些探究，這樣才能站在更高的角度看待和審視問(wèn)題，在教學(xué)中才能做到游刃有余.

作者簡(jiǎn)介

藍(lán)云波（1981—），男，廣東興寧人，學(xué)士，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與初等數(shù)學(xué)研究工作.已發(fā)表論文近60篇.