例談圓錐曲線的最值、參數(shù)范圍

馬海俊

自2012年以來，全國卷每年都會出現(xiàn)1大2小的形式考查圓錐曲線. 小題多考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)；解答題常結(jié)合直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查定點、定值、最值、范圍、探索性問題等. 本文結(jié)合典型例題，介紹求解圓錐曲線最值、范圍問題的常用方法.

以形助數(shù)，巧用幾何法求最值

此類題目的特征是：題目條件、結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義. 通常以圓錐曲線的定義為背景，結(jié)合圓錐曲線特有的幾何性質(zhì)求解較為簡潔. 最值問題常常分為以下兩類：（1）利用第一定義轉(zhuǎn)化為三點共線問題；（2）利用第二定義轉(zhuǎn)化為三點共線問題.

例1 已知橢圓[x225+y216=1]內(nèi)有一點[A]（2，1），點[F]為橢圓的左焦點，點[P]是橢圓上動點，求[PA+PF]的最大值與最小值.

分析 求[PA+PF]的最大值與最小值，若用普通方法比較難解，那么我們可作適當(dāng)轉(zhuǎn)化. 利用橢圓的第一定義，把[PF]轉(zhuǎn)化為與另一焦點有關(guān)的線段，即[PF=2a-PF]，再結(jié)合平面內(nèi)三點共線時有最值，而點[P]在線段[AF]延長線的不同側(cè)時，會使[PA+PF]取得最大值或最小值.

解 如圖，設(shè)橢圓的右焦點為[F]，其坐標(biāo)為[F]（3，0）.

由橢圓的第一定義得， [PF+PF=10].

則[PA+PF=10+PA-PF].

（1）當(dāng)點[P]為[AF]的延長線與橢圓的交點時，[PA-PF]最大，最大值為[AF=2].

（2）當(dāng)點[P]為[FA]的延長線與橢圓的交點時，[PA-PF]最小，最小值為[-AF=-2].

故[PA+PF]的最大值為[10+2]，最小值為[10-2].

解讀 本題中巧用第一定義解題：動點到兩定點距離之和等于定值[2a]，兩定點為焦點，[a]為長半軸，利用這定義，把所求的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為容易求解的目標(biāo). 即把[PA+PF]轉(zhuǎn)化[10+PA-PF]，即轉(zhuǎn)化為[A]，[F]，[P]三點共線進(jìn)行討論. 當(dāng)點[P]在[AF]延長線時，所求函數(shù)有最大值；當(dāng)點[P]在[FA]的延長線時，所求函數(shù)有最小值.

例2 已知雙曲線[C：x29-y216=1]內(nèi)有一點[A7，3]，點[F]是雙曲線[C]的左焦點，點[P]為雙曲線[C]上的動點，求[PA+35PF]的最小值.

分析 注意到式中的數(shù)值“[35]”恰為[1e]，則可由雙曲線的第二定義知，[35PF]等于雙曲線上的點[P]到左準(zhǔn)線的距離[PM]，從而[PA+35PF][=][PA+PM].

解 設(shè)雙曲線的左準(zhǔn)線為[l]，過點[P]作準(zhǔn)線[l]的垂線，垂足為[M].

根據(jù)雙曲線的第二定義得，[PM=53PF].

所以[PA+35PF][=][PA+PM].

由圖可知，當(dāng)[A]，[P]，[M]三點共線時，[PA+PM]取得最小值，其大小為[AM=7+95=445]，即[PA+35PF]的最小值為[445].

解讀 利用第二定義實現(xiàn)了數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化，本題的一般情形：“假如題設(shè)與本題類同，所求的便是[PA+1e|PF|]的最小值（也適合于橢圓、拋物線）. 注：上述兩例利用第一定義、第二定義轉(zhuǎn)化為熟悉的折線段最值問題求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

“以數(shù)解形”，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值

此類題目的特征：題中條件和結(jié)論出現(xiàn)一種明顯的函數(shù)關(guān)系時可通過建立目標(biāo)函數(shù)求最值. 這類題目通常以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景，求面積的最大值和最小值、距離（或弦長）的最長和最短、不定量的最大和最小值等問題.

例3 設(shè)圓[x2+y2+2x-15=0]的圓心為A，直線l過點B（1，0），且與x軸不重合，直線l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.

（1）證明：[EA+EB]為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（2）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交曲線C1于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解析 （1）點[E]的軌跡方程為：[x24+y23=1][（y≠0）]. （求解過程略）

（2）①當(dāng)[l]與[x]軸不垂直時，設(shè)[l]的方程為[y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.]

由[y=k（x-1），x24+y23=1]得，[4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0.]

則[x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3.]

所以[MN=1+k2x1-x2=12k2+14k2+3.]

過點[B（1，0）]，且與[l]垂直的直線[m]：[y=-1k（x-1），]點[A]到[m]的距離為[2k2+1，]

所以[PQ=242-21+k22=44k2+3k2+1.]

故四邊形[MPNQ]的面積

[S=12MN?PQ=121+14k2+3.]

當(dāng)[l]與[x]軸不垂直時，四邊形[MPNQ]的面積的取值范圍為[12，83.]

②當(dāng)[l]與[x]軸垂直時，其方程為[x=1，MN=3，][PQ=8，]四邊形[MPNQ]的面積為12.

綜上所述，四邊形[MPNQ]的面積的取值范圍為[12，83.]

解讀 本題中將面積表示成斜率[k]的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)得到最值. 本題的易錯點是忽略斜率不存在的情況，所以參數(shù)范圍很重要.

例4 如圖，[A，B，P（2，4）]是拋物線[y=-12x2+6]上的點，且直線[PA，PB]的傾斜角互補，若直線[AB]在[y]軸上的截距為正，求[△APB]面積的最大值.

解析 設(shè)[A（x1，y1）]， [B（x2，y2）]，

則[y1=-12x21+6，①y2=-12x22+6，②4=-12?22+6. ③]

①-③得，[y1-4=-12（x1+2）（x1-2）].

[∴kPA=y1-4x1-2]=-[12（x1+2）].

②-③得，[y2-4=-12（x2+2）（x2-2）].

[∴kPB=y2-4x2-2]=-[12（x2+2）].

∵直線[PA]與[PB]的傾斜角互補，

∴[kPA+kPB=-12（x1+x2+4）=0， ∴x1+x2=-4].

①-②得，[y1-y2=-12（x1+x2）（x1-x2）].

[∴kAB=y1-y2x1-x2]=-[12（x1+x2）=2].

設(shè)直線[AB]為[y=2x+b（b>0）]，

代入[y=-12x2+6]得，[x2+4x+2b-12=0].

[∴|AB|=5（x1+x2）2-4x1x2=5?64-8b.]

又[P（2，4）]到直線[AB：2x-y+b=0]的距離為[b5]，

[∴S△ABC=12d?|AB|=][12]×[b5]×[5?64-8b]

[=b16-2b]=[b?b?（16-2b）]≤[（163）3]=[6493].

當(dāng)且僅當(dāng)[b=163]時，[S△ABC]取到最大值[6493].

解讀 本題利用基本不等式求[S△ABC]的最大值時，先將目標(biāo)函數(shù)配湊成積（或和）為定值的形式，這種恒等變形是使用最值定理的前提. 另本題用“點差法”求得[kAB]，值得關(guān)注.

深挖條件，構(gòu)建不等式求解參數(shù)范圍

有些題目，函數(shù)關(guān)系不易建立時，要善于建立含參數(shù)的不等關(guān)系，通過解不等式求得參數(shù)范圍. 構(gòu)造含參數(shù)的不等式關(guān)系的關(guān)鍵是運用圓錐曲線的幾何特征、判別式法或基本不等式等靈活處理. 常見題型有兩類：（1）從直線和圓錐曲線的位置關(guān)系出發(fā)，利用判別式的符號，確定參數(shù)范圍；（2）利用題中其他變量的范圍，借助方程產(chǎn)生變量的函數(shù)表達(dá)式，代入其他變量范圍，解不等式，求得參數(shù)范圍.

例5 已知直線[l]與[y]軸交于點[P（0，m）]，與橢圓[C：2x2+y2=1]交于相異兩點A，B，且[AP=3PB]，求[m]的取值范圍.

解析 （1）當(dāng)直線斜率不存在時，不符合題意.

（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)[l]與橢圓C交點為 [A（x1，y1），B（x2，y2）].

[∴][y=kx+m，2x2+y2=1.]

聯(lián)立得，[（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0.]

[∴][x1+x2=-2kmk2+2，x1x2=m2-1k2+2，]

[Δ=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）>0]. （*）

∵[AP=3PB]，∴[-x1=3x2].

∴[x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22.]消去[x2]得，[3（x1+x2）2+4x1x2=0].

[∴3（-2kmk2+2）2+4m2-1k2+2=0.]

整理得，[4k2m2+2m2-k2-2=0.]

當(dāng)[m2=14]時，上式不成立.

當(dāng)[m2≠14]時，[k2=2-2m24m2-1].

∴[k2=2-2m24m2-1≥0]，∴[-1≤m<-12]，或[12

把[k2=2-2m24m2-1]代入（*）得，[-1

∴[-1

綜上所述，m的取值范圍為[-1

例6 已知橢圓[E：x2t+y23=1]的焦點在[x]軸上，點[A]是橢圓[E]的左頂點，斜率為[k（k>0）]的直線交橢圓[E]于[A，M]兩點，點[N]在[E]上，[MA⊥NA].

（1）當(dāng)[t=4，|AM|=|AN|]時，求[△AMN]的面積；

（2）當(dāng)[2|AM|=|AN|]時，求[k]的取值范圍.

解析 （1）略.

（2）由題意得，[t>3]，[k>0]，[A（-t，0）].

將直線[AM]的方程[y=k（x+t）]代入[x2t+y23=1]得，

[（3+tk2）x2+2ttk2x+t2k2-3t=0].

由[x1?（-t）=t2k2-3t3+tk2]得，[x1=t（3-tk2）3+tk2].

故[AM|=|x1+t|1+k2=6t（1+k2）3+tk2].

由題意得，直線[AN]的方程為[y=-1k（x+t）.]

故同理可得，[AN=6kt（1+k2）3k2+t.]

由[2AM=AN]得，[23+tk2=k3k2+t，]

[即k3-2t=3k2k-1.]

當(dāng)[k=23]時，上式不成立.

因此[t=3k（2k-1）k3-2，t>3等價于]

[k3-3k2+k-2k3-2=k-2k2+1k3-2<0，]即[k-2k3-2<0.]

因此，[k-2>0，k3-2<0，或k-2<0，k3-2>0，]解得，[23

因此[k]的取值范圍是[23，2.]

解讀 例5借助判別式得到參數(shù)范圍；例6借助參數(shù)[t]的范圍構(gòu)造含[k]的不等式. 兩例都通過解不等式達(dá)到求解目的.