窺“一斑”，知“全豹”

盛敏建

摘 要：近年，我市中考數(shù)學(xué)試題已經(jīng)呈現(xiàn)出基礎(chǔ)化的趨勢(shì)，這有可能成為今后我市連續(xù)數(shù)年數(shù)學(xué)中考的“新常態(tài)”。但在初三中考復(fù)習(xí)的過程中，許多老師和學(xué)生還是不走尋常路，經(jīng)常找一些偏題、怪題、難題，使自己陷入茫茫的“苦海”中，這其實(shí)是得不償失的。其實(shí)中考試題的命制完全立足于數(shù)學(xué)課本，其中不乏相當(dāng)數(shù)量的試題直接或間接地來源于課本，許多中考題都能在課本中找到它的“母體”或“原型”。因此，這就要求我們教師在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，要重視課本例題、習(xí)題的作用，深入研究和挖掘隱含在課本中的數(shù)學(xué)思想、方法及潛在價(jià)值，讓學(xué)生們走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到“輕負(fù)高質(zhì)”。本文通過對(duì)一道課本習(xí)題的拓展探究來“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多變，多題一解，引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性和方法，以達(dá)到“窺一斑，知全豹”的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題；拓展探究

一、引言

數(shù)學(xué)習(xí)題浩瀚如海，變化無窮，如何從眾多的數(shù)學(xué)習(xí)題中選擇恰到好處的習(xí)題，這需要我們教師在平時(shí)的教學(xué)中要做個(gè)有心人，選題時(shí)要在“精”字上下功夫。精選習(xí)題目的要明確，針對(duì)性要強(qiáng)，習(xí)題的難易程度要適中。其中課本習(xí)題就是很好的實(shí)例，它們均是經(jīng)過專家多次篩選后的題目的精品，教師在選編習(xí)題時(shí)，要優(yōu)先考慮課本中的例題與習(xí)題，適當(dāng)進(jìn)行拓展、演變，使其源于教材，又不拘泥于教材，不應(yīng)“丟了西瓜去撿芝麻”，忽視課本習(xí)題而去搞大量的課外習(xí)題。在教學(xué)實(shí)踐中，我們要精心設(shè)計(jì)和挖掘課本習(xí)題，編制一題多解、一題多變、一題多用、多題一法的習(xí)題，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。下面本文就課本上一道具有較強(qiáng)代表性和典型性的習(xí)題進(jìn)行拓展探究。

二、選題背景及意義

母題：已知如圖1，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC。求證：△ABP≌△PDC。

題意闡述：本題的已知條件歸納起來有兩個(gè)：

（1）一組邊相等（AP=PC）；（2）三個(gè)角相等（∠ABP=∠APC=∠PDC=90°）。

其證明過程為：∵AB⊥BD，CD⊥BD

∴∠ABP=∠PDC=90°

∠APB+∠BAP=90°

∵AP⊥PC

∴∠APB+∠DPC=90°

∴∠BAP=∠DPC

又∵AP=PC

∴△ABP≌△PDC（AAS）

這是選自浙教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》（上冊(cè)）《2.8直角三角形全等的判定》課本作業(yè)題的第2題（第82頁(yè)）。本題的證明過程并不困難，那為什么要選這一道題呢？這是一道大部分學(xué)生熟悉而又相對(duì)簡(jiǎn)單的習(xí)題，從此類典型問題出發(fā)，我們通過思路剖析，使學(xué)生牢固掌握了基本題型及解題規(guī)律，揭示了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，前后貫通，引申拓寬，使學(xué)生的思維活動(dòng)始終處于一種由淺入深，由表及里，由一題到一路的“動(dòng)態(tài)”進(jìn)程之中，形成了一條較為完整的知識(shí)鏈，不僅有利于消除學(xué)生學(xué)習(xí)的畏難情緒，讓學(xué)生積極、主動(dòng)地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，而且有利于幫助學(xué)生全面、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法，有利于提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

三、問題演變

1.結(jié)論的延伸與拓展

原題中是要證明△ABP≌△PDC，現(xiàn)可對(duì)其結(jié)論進(jìn)行延伸與拓展，改為“觀察圖形猜想AB、BD、CD之間的關(guān)系，并證明你的猜想”。

其實(shí)前部分的證明過程一模一樣，只不過后部分用了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，得到AB=PD，BP=CD。又因?yàn)锽D=BP+PD，通過等量代換從而得到AB、BD、CD三邊關(guān)系滿足BD=AB+CD的關(guān)系。我們?cè)谥锌碱}中可以找到這樣的實(shí)例：

例1：（2013成都）如圖2，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC。（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q。

①若點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合，求的值；

②當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答）。

分析：在本題的第一小題中，證明過程可完全套用母題證得△ABD≌△CEB，從而得到AB=CE，又因?yàn)锳C=AB+BC，AD=BC，通過等量代換得到AC=AD+CE。本小題主要是讓學(xué)生經(jīng)歷由觀察、猜想到驗(yàn)證的解決問題方法，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與解決問題的能力。第二小題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，它主要想讓題設(shè)條件與圖形“動(dòng)”起來，克服學(xué)生的思維定式和圖形位置定式，使學(xué)生習(xí)慣于“開放”與“探究”的思維。

再來看這樣一個(gè)實(shí)例：

例2：如圖3，在筆直的公路L的同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，已知A、B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km?，F(xiàn)要在公路上建一個(gè)汽車站P，使該車站到A、B兩村的距離相等。

（1）試用直尺和圓規(guī)在圖中做出點(diǎn)P；

（2）若連接AP、BP，測(cè)得∠APB=90°，求A村到車站的距離。

分析：本題添加了一個(gè)實(shí)際應(yīng)用背景，第一小題考查了中垂線的性質(zhì)，作線段AB的中垂線，它與直線l的交點(diǎn)即為所要求作的點(diǎn)P；第二小題連接AP、BP后，即出現(xiàn)我們前面所提到的原型圖，易得△APC≌△PBD，則CP=BD，再由勾股定理算得AP為5km。本題滲透了數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；使學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略。

2.條件和結(jié)論的互逆變換

母題中是已知一組邊相等和三個(gè)角相等，求證三角形全等，現(xiàn)可將題中的條件和結(jié)論進(jìn)行互逆變換。下面就有這樣一個(gè)中考實(shí)例：

例3：（山東德州）兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如圖4所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，聯(lián)結(jié)BD，取得BD中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)EM，MC，試判斷的△CME形狀，并說明理由。

分析：此題兩個(gè)全等直角三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等得到△ABD為等腰直角三角形，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MD=MA，再由“邊角邊”證得△MDE≌△MAC，由對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等證得△CEM為等腰直角三角形。本題主要是培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

3.條件的弱化

當(dāng)一個(gè)命題成立的條件較為豐富時(shí)，可考慮減少其中一兩個(gè)條件，或?qū)⑵渲幸粌蓚€(gè)條件一般化，并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，從而加工概括成新的命題以求拓展應(yīng)用。

（1）弱化條件“線段相等”，則結(jié)論由三角形的全等弱化為三角形相似。

例4：（山東）如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（m，6），B（n，1）為兩動(dòng)點(diǎn)，其中0

①求證：mn=-6；

②當(dāng)S△AOB=10時(shí)，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且以y軸為對(duì)稱軸，求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；

③在②的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，問是否存在直線l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：本題在原型基礎(chǔ)上添加了直角坐標(biāo)系，與函數(shù)結(jié)合，是一道代數(shù)與幾何的綜合題，又是一道解決動(dòng)態(tài)的問題，考查了相似三角形、圖形與坐標(biāo)、函數(shù)等知識(shí)；它主要培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題能力、處理實(shí)際問題能力和應(yīng)變能力。

（2）弱化條件“直角”，則“全等三角形”結(jié)論仍然成立。

例5：如圖5△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也為等邊三角形。

①在圖中找到除等邊三角形邊長(zhǎng)相等的線段，證明你的結(jié)論。

②你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變換相互得到？寫出變換過程。

分析：本題中雖沒有直角條件，但仍有“一線三角”相等，可以通過“AAS”或“ASA”證明△AFE≌△BDF≌△CED，從而得到AE=BF=CD，AF=BD=CE。此題主要考查了三角形全等的判定和圖形的變換等知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。

（3）同時(shí)弱化條件“線段相等”和“直角”，則結(jié)論由三角形的全等弱化為三角形相似。

例6：如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且∠BEF=120°，設(shè)AE=x，DF=y

①求y與x的函數(shù)解析式；

②當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

分析：本題雖沒有條件“線段相等”和“直角”，但通過兩個(gè)角相等可得到△ABE和△DEF相似，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得y與x的函數(shù)解析式。此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)，充分運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合和建立函數(shù)模型來求最值問題。

無論如何變換，本質(zhì)上“三個(gè)角相等”的條件始終存在，最終要應(yīng)用三角形相似或全等來解決問題。

4.圖形的變化拓展

有時(shí)可對(duì)基本圖形進(jìn)行平移等變換，使其變?yōu)橄旅鎯煞N基本圖形：

但基本解題思路仍然不變。

例7：（江西）某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：

①如圖7，在等邊△ABC中，M，N分別是AC，AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=60°，則BM=CN；

②如圖8，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交與點(diǎn)O，∠BON=90°，則BM=CN；

③如圖9，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，則BM=CN。

任務(wù)要求

（1）請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；

（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：

試在圖9中畫出一條與CN相等的線段DH，使點(diǎn)H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的角是108°，這樣的線段有幾條？如圖10，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，請(qǐng)問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，試說明理由。

分析：本題中雖圖形有所改變，但前三題證明過程與母題同出一轍，仍可以用“AAS”來證得。讓學(xué)生從圖形運(yùn)動(dòng)中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題，探究解決新問題的策略。

5.基本圖形的構(gòu)造與應(yīng)用

幾何綜合性問題通常是由若干個(gè)基本問題組合而成，其圖形也是由若干個(gè)基本圖形組合而成，因而，學(xué)生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時(shí)，還應(yīng)具備必需的輔助線構(gòu)造基本圖形的技能。

例8：如圖11，∠MON=90°，∠MON的內(nèi)部有一個(gè)正方形AOCD，點(diǎn)A，C分別在射線OM，ON上，點(diǎn)B在ON上的任意一點(diǎn)，在∠MON的內(nèi)部作正方形AB1C1D1，連接DD1，①求證：∠ADD1=90°。

②連接CC1，猜一猜，∠C1CN的度數(shù)？并證明你的結(jié)論。

③在ON上任取一點(diǎn)B2，以AB2為邊。在∠MON的內(nèi)部做出正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結(jié)合①，②的結(jié)論，請(qǐng)你再做出一個(gè)合理的判斷。

分析：本題中并沒有出現(xiàn)原型中的“K”型圖，需要我們根據(jù)對(duì)題意的理解構(gòu)造基本圖形，從而出現(xiàn)我們熟悉的圖形。人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的。當(dāng)問題的條件不夠時(shí)，添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，建立已知、未知間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會(huì)解的情況，這是解決問題常用的策略之一。

四、感悟與反思

新課標(biāo)明確指出：教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

回顧以上對(duì)這道課本習(xí)題進(jìn)行研究及其拓展的過程，都給學(xué)生充分創(chuàng)造了探究活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)探索，發(fā)展了學(xué)生的思維，拓寬了學(xué)生的視野。課本練習(xí)題都是由許多具有豐富理論修養(yǎng)與豐富實(shí)踐水平的專家經(jīng)過深思熟慮、反復(fù)醞釀，最后編撰而成的，它是教師課堂教學(xué)的依據(jù)，是教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的中介。它們中有不少題內(nèi)涵豐富，對(duì)強(qiáng)化雙基，開發(fā)智力，培養(yǎng)能力都存在極大的潛在價(jià)值。在平時(shí)的課本練習(xí)題教學(xué)中（特別是在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中），如果我們教師能根據(jù)題目的特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行挖掘、變式、延伸和拓展，多給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維活動(dòng)的空間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠^察、比較、猜想、引申、拓寬等思維訓(xùn)練，這不僅能把已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)串成線，線聯(lián)成網(wǎng)，組成知識(shí)面，使學(xué)生能解一題、明一路，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率；而且還可以有助于發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高學(xué)生思維的敏捷性，形成學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

五、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)課本是數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)載體，是《教學(xué)大綱》的具體體現(xiàn)，也是我們教師平時(shí)教學(xué)最重要的參考依據(jù)。課本中的很多練習(xí)題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓。我們教師要重視和挖掘教材，絕不能忽視課本習(xí)題而去搞大量的課外習(xí)題。在對(duì)課本習(xí)題的探究道路上，本人也才剛剛起步，但會(huì)一直堅(jiān)持下去，套用屈原的一句名言：路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。

參考文獻(xiàn)：

1.義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè).浙江教育出版社，2013.

2.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).北京師范大學(xué)出版社，2011.

3.呂勤，吳榮華.課堂大問題：學(xué)校高效課堂問題診斷.南京大學(xué)出版社，2011.9.

4.劉堤坊.數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的三維視角.現(xiàn)代教育出版社，2008.3.

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)徑山鎮(zhèn)中學(xué)）