歸納法在高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的應(yīng)用探究

楊小平

摘 要：中學(xué)時(shí)期的課程教學(xué)也對(duì)學(xué)生的全面發(fā)展有著重要影響。幾何教學(xué)是高中數(shù)學(xué)中比較重要，但同時(shí)也是難點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)。根據(jù)幾何部分的知識(shí)點(diǎn)特征，運(yùn)用歸納法教學(xué)能夠有效提升教學(xué)成效。本文簡(jiǎn)要闡述了歸納法的相關(guān)概念，以及幾何部分的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。根據(jù)幾何部分的知識(shí)點(diǎn)特性，提出了歸納法在幾何教學(xué)中的具體運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：歸納法 幾何教學(xué) 高中數(shù)學(xué) 運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)的難度較大，抽象性和邏輯性的要求都更強(qiáng)，學(xué)生存在一定的理解難度。尤其是幾何部分，這部分的知識(shí)點(diǎn)較差的部分較多，學(xué)生不容易理解。歸納法強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，以掌握和運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)為主要目的。因此，歸納法的運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的邏輯推算能力提升有一定的幫助。 [1]

一、歸納法概述

歸納法的教學(xué)，從某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，引出對(duì)常見(jiàn)的特性的推理。也就是說(shuō)，是借助已知的條件，引出有一定可能性的結(jié)論。將其運(yùn)用于數(shù)學(xué)中，主要用于對(duì)論斷的證明。在高中數(shù)學(xué)中，歸納法由于其證明步驟比較簡(jiǎn)單，思路明確，因此被充分運(yùn)用于運(yùn)算過(guò)程中。

在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，歸納法的主要步驟包括以下兩個(gè)，一是針對(duì)能夠賦予論斷意義的最小數(shù)值，可直接進(jìn)行證明。二是針對(duì)該論斷若對(duì)某一自然數(shù)是可以實(shí)現(xiàn)的，則此路段必然成立。歸納法的應(yīng)用，可使學(xué)生在解題過(guò)程中，保證思路清晰，層層遞進(jìn)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維有著重要的促進(jìn)作用。[2]

二、高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)

與初中時(shí)期相比，高中時(shí)期的數(shù)學(xué)課程更為深?yuàn)W和復(fù)雜，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系和聯(lián)系也有所不同。加之初中時(shí)期與高中時(shí)期的學(xué)習(xí)重點(diǎn)不同，許多學(xué)生在高中幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)成效不明顯。高中時(shí)期數(shù)學(xué)幾何的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)主要包含以下幾個(gè)部分，一是平面、直線(xiàn)、角三個(gè)因素之間的兩兩關(guān)系的認(rèn)識(shí)。這部分的知識(shí)體系較為復(fù)雜，學(xué)生需要通過(guò)反復(fù)理解和運(yùn)用，才能逐步構(gòu)建起自身的知識(shí)系統(tǒng)，有效運(yùn)用。二是經(jīng)典的立體幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，例如柱體、椎體等，了解這些幾何體的基本概念以及幾何特征等基礎(chǔ)知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)教材的基本要求。但學(xué)生需要充分掌握各幾何體的幾何特性，以保證在做題的過(guò)程中，避免常識(shí)性錯(cuò)誤的發(fā)生。[3]

三、歸納法在高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的運(yùn)用

1.歸納法在運(yùn)算教學(xué)中的運(yùn)用

高中幾何的運(yùn)算涉及到的數(shù)據(jù)較多，學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中容易出錯(cuò)，由于思路不清晰或?qū)υ砝斫獾牟怀浞值仍驅(qū)е聛G分，是學(xué)生難以攻破幾何題型的重要原因。因此，在實(shí)際的計(jì)算中，學(xué)生需注意保持解題思路和方向的明確。

例1，平面內(nèi)有一圓心位于同一直線(xiàn)的半圓，其在平面內(nèi)的關(guān)系是任何兩個(gè)半圓都呈相交關(guān)系，并且都位于直線(xiàn)的同一側(cè)。求：平面內(nèi)的半圓被平面內(nèi)的全部交點(diǎn)最多能夠分成幾段圓弧。

根據(jù)題意，可知平面內(nèi)半圓的交點(diǎn)，最多能夠?qū)⑵浞殖啥螆A弧，可畫(huà)出圖形。

此時(shí)，根據(jù)歸納法的運(yùn)算思路，可以發(fā)現(xiàn)f（2）=4=22，f（3）=9=32，f（4）=16=42.

在列出了其中已知條件的關(guān)系方程式之后，可猜想滿(mǎn)足要求的圓弧段的關(guān)系式為f（n）=n2（n≥2）

證明：

（1）當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立。

（2）假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立。即在平面內(nèi)，滿(mǎn)足要求的圓弧最多有f（k）=k2，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與其他的半圓都呈相交的關(guān)系，任一三個(gè)半圓都無(wú)法相交同一點(diǎn)。這樣一來(lái)，平面內(nèi)就增加了k條圓弧。而圓k個(gè)半圓又將其后面的一個(gè)半圓分為k+1段圓弧，所以又增加了k+1條圓弧。

即f（k+1）=k2+k+k+1=（k+1）2，

所以，當(dāng)n+k+1時(shí)，該論斷也成立

根據(jù)以上分析，滿(mǎn)足要求的n個(gè)半圓最多能夠被平面內(nèi)的交點(diǎn)劃分為n2段圓弧。

2.歸納法在證明教學(xué)中的運(yùn)用

證明類(lèi)的幾何題的邏輯要求更高，抽象性更強(qiáng)，有效地運(yùn)用歸納法，能夠幫助解題。

例2，同一平面內(nèi)存在n條直線(xiàn)，其中任一兩條不呈平行關(guān)系，任意三條不相交于同一點(diǎn)。求：n條直線(xiàn)將平面劃分為（n2+n+2）個(gè)區(qū)域。

證明：

（1）當(dāng)n+1時(shí)，（1+2+1+2）=2.所以，n+1時(shí)該結(jié)論成立

（2）設(shè)n=k，結(jié)論也成立，即k條直線(xiàn)把平面劃分成（k2+k+2）個(gè)區(qū)域當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1中的k條直線(xiàn)將平面劃分為（k2+k+2）個(gè)區(qū)域，第k+1條直線(xiàn)被前面的所有直線(xiàn)分割成了k+1條線(xiàn)段，每一個(gè)線(xiàn)段又將其存在的區(qū)域劃分為兩個(gè)部分

所以，又多出現(xiàn)了k+1個(gè)區(qū)域也就是說(shuō)，k+1條直線(xiàn)，將平面劃分為（k2+k+2）+k+1=[（k+1）2+（k+1）+2]個(gè)區(qū)域所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，該結(jié)論也成立根據(jù)以上分析，對(duì)所有的，該結(jié)論均成立。

結(jié)語(yǔ)

將歸納法運(yùn)用于幾何教學(xué)中，不僅能夠促使學(xué)生運(yùn)算速度的提高，還能夠鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力。

參考文獻(xiàn)

[1]肖海燕，代欽.數(shù)學(xué)歸納法在幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2011，04：130-131.

[2]姜莉莉.小組合作學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究[J].當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究，2015，10：194.

[3]于焱.探究式教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].大連教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，02：20-22.