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    “統(tǒng)計(jì)與概率”,我們勢(shì)在必得

    2017-03-01 17:27:40
    初中生世界·九年級(jí) 2017年3期
    關(guān)鍵詞:統(tǒng)計(jì)與概率樹狀平均數(shù)

    統(tǒng)計(jì)與概率在中考的選擇題、填空題和解答題中都有可能出現(xiàn),主要考查統(tǒng)計(jì)、概率的概念和一些簡(jiǎn)單的計(jì)算.

    例1 (2016·鹽城)下列調(diào)查中,最適宜采用普查方式的是( ).

    A.對(duì)我國(guó)初中學(xué)生視力狀況的調(diào)查

    B.對(duì)量子科學(xué)通信衛(wèi)星上某種零部件的調(diào)查

    C.對(duì)一批節(jié)能燈管使用壽命的調(diào)查

    D.對(duì)“最強(qiáng)大腦”節(jié)目收視率的調(diào)查

    【分析】調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起來,具體問題具體分析.普查結(jié)果準(zhǔn)確,所以在要求精確、難度相對(duì)不大、實(shí)驗(yàn)無破壞性的情況下應(yīng)選擇普查方式,當(dāng)考察的對(duì)象很多或考察會(huì)給被調(diào)查對(duì)象帶來?yè)p傷破壞,以及調(diào)查經(jīng)費(fèi)和時(shí)間都非常有限時(shí),普查就受到限制,這時(shí)就應(yīng)選擇抽樣調(diào)查.

    解:對(duì)初中學(xué)生視力狀況的調(diào)查,人數(shù)太多,調(diào)查的工作量大,適合抽樣調(diào)查,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)量子科學(xué)通信衛(wèi)星上某種零部件的調(diào)查,關(guān)系到量子科學(xué)通信衛(wèi)星的運(yùn)行安全,必須全面調(diào)查,故B選項(xiàng)正確;對(duì)一批節(jié)能燈管使用壽命的調(diào)查具有破壞性,適合抽樣調(diào)查,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)“最強(qiáng)大腦”節(jié)目收視率的調(diào)查,人數(shù)較多,不便測(cè)量,應(yīng)當(dāng)采用抽樣調(diào)查,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故本題應(yīng)選B.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別,選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考察的對(duì)象的特征靈活選用.一般來說,對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí),應(yīng)選擇抽樣調(diào)查;對(duì)于精確度要求高的調(diào)查,事關(guān)重大的調(diào)查,往往選用普查.

    例2 (2016·福州)下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布:

    對(duì)于不同的x,下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是( ).

    A.平均數(shù)、中位數(shù) B.眾數(shù)、中位數(shù)

    C.平均數(shù)、方差 D.中位數(shù)、方差

    【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10,即可得知總?cè)藬?shù),結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),可得答案.

    解:由表可知,年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10-x=10,則總?cè)藬?shù)為:5+15+10=30,故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲,中位數(shù)為:[12](14+14)=14歲,即對(duì)于不同的x,關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù),故選B.

    【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計(jì)量的選擇,由表中數(shù)據(jù)得出樣本總數(shù)是根本,熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

    例3 (2016·巴中)下列說法正確的是( ).

    A.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后,5點(diǎn)朝上是必然事件

    B.審查書稿中有哪些學(xué)科性錯(cuò)誤適合用抽樣調(diào)查法

    C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次,他們成績(jī)的平均數(shù)相同,方差分別是s甲2=0.4,

    s乙2=0.6,則甲的射擊成績(jī)較穩(wěn)定

    D.擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發(fā)生的概率為[12]

    【分析】由隨機(jī)事件和必然事件的定義得出A錯(cuò)誤;由統(tǒng)計(jì)的調(diào)查方法得出B錯(cuò)誤;由方差的性質(zhì)得出C正確;由概率的計(jì)算得出D錯(cuò)誤.

    解:擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后,5點(diǎn)朝上不是必然事件,是隨機(jī)事件,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;審查書稿中有哪些學(xué)科性錯(cuò)誤適合用全面調(diào)查法,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;甲乙兩人在相同條件下各射擊10次,他們的成績(jī)的平均數(shù)相同,方差分別是s甲2=0.4,s乙2=0.6,則甲的射擊成績(jī)較穩(wěn)定,選項(xiàng)C正確;擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發(fā)生的概率為[14],不是[12],選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求概率的方法、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、方差的性質(zhì)以及隨機(jī)事件與必然事件.熟記方法和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

    例4 (2016·廣州)某個(gè)密碼鎖的密碼由三個(gè)數(shù)字組成,每個(gè)數(shù)字都是0~9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè),只有當(dāng)三個(gè)數(shù)字與所設(shè)定的密碼及順序完全相同時(shí),才能將鎖打開.如果僅忘記了所設(shè)密碼的最后那個(gè)數(shù)字,那么一次就能打開該鎖的概率是( )

    A.[110] B.[19] C.[13] D.[12]

    【分析】最后一個(gè)數(shù)字可能是0~9中任一個(gè),總共有十種情況,其中開鎖只有一種情況,利用等可能事件概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

    解:∵共有10個(gè)數(shù)字,∴一共有10種等可能的選擇,∵一次能打開鎖的只有1種情況,∴一次能打開該鎖的概率為[110].故選A.

    【點(diǎn)評(píng)】此題考查了概率公式的應(yīng)用.注意概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

    例5 (2016·臺(tái)灣)甲箱內(nèi)有4顆球,顏色分別為紅、黃、綠、藍(lán);乙箱內(nèi)有3顆球,顏色分別為紅、黃、黑.小賴打算同時(shí)從甲、乙兩個(gè)箱子中各抽出一顆球,若同一箱中每球被抽出的機(jī)會(huì)相等,則小賴抽出的兩顆球顏色相同的概率為( ).

    A.[13] B.[16] C.[27] D.[712]

    【分析】畫出樹狀圖,得出共有12種等可能的結(jié)果,顏色相同的有2種情形,即可得出結(jié)果.

    解:樹狀圖如圖所示:

    共有12種等可能的結(jié)果,顏色相同的有2種情形,故小賴抽出的兩顆球顏色相同的概率=[212]=[16].故選B.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果,列表法適合于兩步完成的事件,樹狀圖法適合于兩步或兩步以上完成的事件.注意概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

    例6 (2016·北京)調(diào)查作業(yè):了解你所住小區(qū)家庭5月份用氣量情況.

    小天、小東和小蕓三位同學(xué)住在同一小區(qū),該小區(qū)共有300戶家庭,每戶家庭人數(shù)在2-5之間,這300戶家庭的平均人數(shù)為3.4.

    小天、小東、小蕓各自對(duì)該小區(qū)家庭5月份用氣量情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理,繪制的統(tǒng)計(jì)表分別為表1、表2和表3.

    根據(jù)以上材料回答問題:

    小天、小東和小蕓三人中,哪一位同學(xué)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該小區(qū)家庭5月份用氣量情況,并簡(jiǎn)要說明其他兩位同學(xué)抽樣調(diào)查的不足之處.

    【分析】這是一道解答題,它涉及抽樣調(diào)查、分析數(shù)據(jù)以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的觀念來解決問題的能力.

    解:小天調(diào)查的樣本容量較少;小東抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)中,家庭人數(shù)的平均值為(2×3+3×11+4)÷15=2.87,遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了平均人數(shù)3.4,所以他的數(shù)據(jù)抽樣有明顯問題;小蕓抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)中,家庭人數(shù)的平均值為(2×2+3×7+4×4+5×2)÷15=3.4,說明小蕓的抽樣數(shù)據(jù)質(zhì)量較好,因此小蕓的抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該小區(qū)家庭5月份用氣量情況.

    【點(diǎn)評(píng)】統(tǒng)計(jì)思想與統(tǒng)計(jì)觀念是解決這類問題的關(guān)鍵,而平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)等知識(shí)是解決這類問題的基礎(chǔ).

    例7 (2016·蘇州)在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球,小球上分別標(biāo)有數(shù)字-1、0、2,它們除了數(shù)字不同外,其他都完全相同.

    (1)隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球,則摸出標(biāo)有數(shù)字2的小球的概率為 ;

    (2)小麗先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的橫坐標(biāo),再將此球放回、攪勻,然后由小華再?gòu)牟即须S機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的縱坐標(biāo),請(qǐng)用樹狀圖或表格列出點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo),并求出點(diǎn)M落在如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)(包括邊界)的概率.

    【分析】本題已明確是求等可能事件的概率,因此,可用等可能事件的概率公式進(jìn)行求解.

    解:(1)從布袋中摸出一個(gè)小球,小球標(biāo)有的數(shù)字可能出現(xiàn)的結(jié)果有3種,即-1、0、2,并且它們出現(xiàn)的可能性相等.恰好為標(biāo)有數(shù)字2的小球(記為事件A)的結(jié)果有1種,所以P(A)=[13].

    (2)小麗先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo),再將此球放回、攪勻,然后由小華再?gòu)牟即须S機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo),可用下列樹狀圖表示:

    由樹狀圖可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)的結(jié)果有9種,即(-1,-1)、(-1,0)、(-1,2)、(0,-1)、(0,0)、(0,2)、(2,-1)、(2,0)、(2,2),并且它們出現(xiàn)的可能性相等.點(diǎn)M恰好落在正方形網(wǎng)格內(nèi)(包括邊界)的結(jié)果有6種,即(-1,-1)、(-1,0)、(0,-1)、(0,0)、(0,2)、(2,0),所以P(M)=[69]=[23].

    【點(diǎn)評(píng)】概率求解題,關(guān)鍵是要把它設(shè)置成等可能下的概率事件,然后用枚舉的方法,可用樹狀圖,有時(shí)也可用表格把所有等可能事件的結(jié)果表示出來,并找出符合題目要求的情況,最后運(yùn)用等可能概率的計(jì)算公式求出結(jié)果.

    (作者單位:江蘇省南京市寧海中學(xué)分校)

    伍銀平

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