芻議將數(shù)學(xué)課堂交給學(xué)生

蔡軍軍

“把課堂還給學(xué)生”是葉瀾提出的理念.該理念主張把課堂還給學(xué)生，使課堂成為培養(yǎng)學(xué)生自我教育能力的最好場所，讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人.然而有些教師的理解是，數(shù)學(xué)課堂上教師要敢于放手，讓學(xué)生去參與，甚至整堂課全部由學(xué)生來完成.當(dāng)前，確實(shí)有幾所學(xué)校在這方面很成功，如杜郎口模式便是其一，但是很多學(xué)校做不到這一點(diǎn)，而且杜郎口模式重視教師在課堂上的主導(dǎo)作用.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該扮演怎樣的角色？師生關(guān)系應(yīng)該是怎樣的？如何打造高效課堂？下面以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”為例，淺談如何打造高效課堂.

某教學(xué)參考資料指出：“其一，問題都是探究數(shù)列的前n項(xiàng)和，給定一個等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和就只與n有關(guān)（是關(guān)于n的函數(shù)），求出這個函數(shù)的關(guān)系式就是研究目標(biāo)……其三，怎樣消項(xiàng)呢？等差數(shù)列的“倒序相加”能照搬嗎？不能（這點(diǎn)可以讓學(xué)生自己嘗試），又該怎樣辦呢？”事實(shí)上，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)是相同的，兩種求和方法只是一種運(yùn)算技巧.不妨回顧兩種數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法進(jìn)行對比分析：

等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程：

Sn=a1+a2+a3+…+an.①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1.②

①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）.

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得：a1+an=a2+an-1=…=an+a1.③

所以2Sn=n（a1+an）.故Sn=n（a1+an）2.

等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.④

④×q，可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn.⑤

由④-⑤得，（1-q）Sn=a1+0+0+…0n-1個0

-a1qn.⑥

當(dāng)q≠1時，Sn=a1（1-qn）1-q.

不難發(fā)現(xiàn)，對Sn=a1+a2+a3+…+an求和，主要是處理帶省略號的一段，在③式中因?yàn)閍1+an，a2+an-1，…an+a1，相等，即可求和，整體上處理了省略號.而在⑥式中因?yàn)槌霈F(xiàn)了n-1個0，也從整體上成功地求出了和.可見，兩種推導(dǎo)方法從解決省略一段的方式是相同的，即都是把相同的數(shù)組成的數(shù)列求出和.這里相同的數(shù)組成的數(shù)列是如何構(gòu)造的？從③、⑥式中不難看出，是數(shù)與數(shù)“配對”后通過兩個等式加、減而來，之所以能求出和，是因?yàn)橥ㄟ^“配對”將不同數(shù)的數(shù)列求和化歸為相同數(shù)的數(shù)列求和，即常數(shù)列求和.這樣，本質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，而“配對”只是這一數(shù)學(xué)本質(zhì)的表現(xiàn)形式.所謂的“倒序相加法”和“錯位相減法”就有著相同的數(shù)學(xué)方法本質(zhì)，即轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.這兩種方法本身不過是一種數(shù)列求和的運(yùn)算技術(shù)而已，不必被推崇為方法，更不足稱為數(shù)學(xué)思想.這就解決了一直困擾不少教師的問題：為什么不能用類比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，啟發(fā)學(xué)生推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的難題？能否類比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法（將不同數(shù)的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的數(shù)列求和，即常數(shù)列求和）來推證等比數(shù)列求和公式？適當(dāng)引導(dǎo)后，“錯位相減”也將自然形成.這符合了先前所學(xué)知識為后面學(xué)習(xí)提供知識經(jīng)驗(yàn)的原理，貼近了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).

另有教學(xué)參考資料指出：“……第二，教師應(yīng)該清醒地認(rèn)識到，學(xué)生的習(xí)題解答，其中大部分屬于模仿性操作.創(chuàng)造思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的高層次目標(biāo)，但教師對學(xué)生的創(chuàng)造力不能估計(jì)過高，期望他們在新授課上、在短時間內(nèi)做出驚人之舉是不現(xiàn)實(shí)的.第三，教師雖然歡迎學(xué)生提出問題，但鑒于知識和視野的局限，他們不可能提出新穎獨(dú)特、結(jié)構(gòu)精巧、蘊(yùn)涵深邃、功能豐富的精彩問題，而是要教師在課前精心編擬”.那么，將課堂交給學(xué)生的理念與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維和提出有價值問題的能力是否相悖？實(shí)際上，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師營造民主的教學(xué)氛圍，揭示數(shù)學(xué)的思維過程，并給學(xué)生認(rèn)真思考和自主探索的時間，鼓勵學(xué)生主動參與，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生大膽質(zhì)疑，提出問題，解決問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維和提出有價值問題的能力.

下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，提出推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的幾點(diǎn)想法，用以說明教師如何發(fā)揮主導(dǎo)作用，并尊重學(xué)生的主體地位，恰當(dāng)?shù)亍皩?shù)學(xué)課堂交給學(xué)生”.

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，激活學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈.在“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)問題情境：國際象棋起源于古代印度.關(guān)于國際象棋有這樣一個傳說：國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請您在這張棋盤的第1個小格內(nèi)給1粒麥子，在第2個小格內(nèi)給2粒，第3格內(nèi)給4粒，依次類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子為止.把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧.”國王覺得這不是難辦的事，就欣然同意了他的要求.國王應(yīng)該給發(fā)明者多少粒麥粒？國王有能力滿足發(fā)明者的要求嗎？通過數(shù)學(xué)史料，擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認(rèn)識.

2.加強(qiáng)師生互動，引導(dǎo)學(xué)生自主探究

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師是數(shù)學(xué)活動的合作者，是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者；教師要創(chuàng)造自由、輕松的課堂氣氛，引導(dǎo)學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動.結(jié)合學(xué)生掌握知識的情況和本課特點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)如下推導(dǎo)公式的方案.

類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo).

對于等差數(shù)列，我們是這樣推導(dǎo)出通項(xiàng)公式的：

當(dāng)n≥2時，有a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.

將上面的n-1個等式的兩邊分別相加，得an-a1=（n-1）d（疊加法）.

而對于等比數(shù)列，根據(jù)定義有，a2a1=q，a3a2=q，a4a3=q，…，anan-1=q，即.a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q.

將上面的n-1個等式的兩邊分別相加，得a2+a3+…+an=（a1+a2+…+an-1）q.

觀察上式左右兩邊的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，等式左邊加上a1等于Sn，等式右邊括號內(nèi)加上an也等于Sn.于是有Sn=a1=（Sn-an）q，整理得（1-q）Sn=a1-anq.所以，當(dāng)q≠1時，Sn=a1-anq1-q=a1-a1qn-1q1-q=a1（1-qn）1-q，當(dāng)q=1時，Sn=na1.

3.加強(qiáng)學(xué)生的交流合作

每個學(xué)生都有發(fā)展的潛能，也都有各自的思維方式和解決問題的策略.要想把課堂交給學(xué)生，教師就應(yīng)賦予學(xué)生更多的思考、動手、交流的空間和機(jī)會，使學(xué)生在合作交流和獨(dú)立思考的氛圍中學(xué)會傾聽、質(zhì)疑、說服、推廣.在教學(xué)中，筆者嘗試讓學(xué)生分成小組就等比數(shù)列求和公式進(jìn)行合作探究，提高了教學(xué)效果.

課堂簡錄：通過前面學(xué)習(xí)，我們理解了等比數(shù)列的定義，即an+1an=q（q≠0），掌握了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即an=anqn-1.那么，如何探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和，即Sn=a1+a2+a3+…+an=？（將全班學(xué)生分成4個小組進(jìn)行交流合作）經(jīng)過一段時間，第一個小組匯報，由Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①，在①式左右兩邊同乘q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②，再由①-②得，（1-q）Sn=a1-a1qn.所以當(dāng)q≠1時，Sn=a1（1-qn）1-q.第一小組是運(yùn)用了錯位相減法.筆者給予肯定，指出課前預(yù)習(xí)是非常好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.這時，第二個小組主動要求給出他們的推導(dǎo)方法：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q（a1+a1q1+…+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）….筆者表揚(yáng)了他們小組的成果，并指出這種方法實(shí)際上是構(gòu)造了子母式.第三小組也不甘示弱，勇敢地站出來指出：Sn=a1+a2+a3+…+an=a2q+a3q+a4q+…+an+1q=（a1+a2+a3+…+an）-a1+anqq=Sn-a1+anqq….第三小組的方法與第二小組的方法本質(zhì)一樣，殊途同歸.緊接著，第四小組介紹他們的方法：由a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q，結(jié)合比例關(guān)系中的等比性質(zhì)得，a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q……第四小組的方法是回歸到等比數(shù)列的定義，新穎別致.

總之，將數(shù)學(xué)課堂交給學(xué)生，沒有絕對標(biāo)準(zhǔn).只要符合學(xué)生的認(rèn)知心理，就有積極意義.

參考文獻(xiàn)

渠東劍.啟發(fā)思維重于誘導(dǎo)結(jié)果[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2013（10）.

水菊芳，黃安成.我們不是課堂“神話”的締造者----“將課堂交給學(xué)生之我見” .中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2013（12）.