待定系數(shù)法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

孫婷

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，待定系數(shù)法是常見的數(shù)學(xué)方法，也是重要的數(shù)學(xué)方法.一般來說，用待定系數(shù)法解數(shù)學(xué)問題時(shí)，它的結(jié)論是未知的，但結(jié)論的結(jié)構(gòu)是可以判斷出的某種確定的形式.在這種確定的形式中，只要求出其中一些關(guān)鍵的系數(shù)，問題的結(jié)論就求出來了.這些關(guān)鍵的系數(shù)叫作待定系數(shù)，這種解題方法叫作待定系數(shù)法.待定系數(shù)法解數(shù)學(xué)題的步驟：①確定所求問題含待定系數(shù)的解析式；②根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；③解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.

例1求（x2+x+3）5展開式中含x項(xiàng)的系數(shù).

解：設(shè)（x2+x+3）5=a10x10+a9x9+…+a1x+a0（a1等是待定的系數(shù)），對(duì)式子兩邊求導(dǎo)數(shù)得5（2x+1）（x2+x+3）4=10a10x9+9a9x8+…+a1，令x=0，則a1=5×34=405.

例2已知數(shù)列{an}的前2項(xiàng)分別為23、79，以后的各項(xiàng)由公式an+2=23an+1+13an給出，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：由an+2=23an+1+13an可設(shè)an+2+λan+1=μ（an+1+λan）（λ、μ是待定系數(shù)），從而有an+2=（μ-λ）an+1+λμan與an+2=23an+1+13an相比較得μ-λ=23λμ=13，解得λ=13μ=1或λ=-1μ=-13，從而an+2+13an+1=an+1+13an，且an+2-an+1=-13（an+1-an）.又a1=23，a2=79，于是an+1+13an=1且an+1-an=19·-13n-1.兩式消去an+1得數(shù)列（an）的通項(xiàng)公式an=34+14×-13n.

例3已知圓過點(diǎn)A（1，4），且與過點(diǎn)B（6，8）的直線相切于點(diǎn)C（3，5），求圓的方程.

解：由兩點(diǎn)式得過B，C的直線方程是x-y+2=0.設(shè)所求圓的方程為（x-3）2+（y-5）2+λ（x-y+2）=0（λ是待定系數(shù)），將點(diǎn)（1，4）代入此方程，解得λ=5.再代入（x-3）2+（y-5）2+λ（x-y+2）=0，求得圓方程為x2+y2-x-15y+44=0.

例4已知x，y，z都是正數(shù)，求xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解：由已知有：xy≤λx2+14λy2，2yz≤μy2+1μz2，λ，μ是正數(shù)（λ、μ是待定的系數(shù)）xy+2yz≤λx2+14λy2+μy2+1μz2=λx2+14λ+μy2+1μz2.令λ=14λ+μ=1μ，解得μ=255，λ=52.于是xy+2yz≤52x2+y2+z2.當(dāng)λx2=14λy2，μy2=1μz2，即y=2λx=5x，z=μy=2λμx=2x時(shí)取等號(hào)，故xy+zyzx2+y2+z2的最大值52.

例5已知函數(shù)y=mx2+43x+nx2+1的最大值為7，最小值為-1，求此函數(shù)的表達(dá)式.

解：求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m，n的值.將函數(shù)式變形為（y-m）x2-43x+（y-n）=0.因?yàn)閤∈R，所以Δ=（-43）2-4（y-m）（y-n）≥0，即y2-（m+n）y+（mn-12）≤0.①要使函數(shù)有最大值7，最小值-1，亦就是-1≤y≤7.顯然，（y+1）（y-7）≤7，即y2-6y-7≤0.②比較①②系數(shù)得方程組：m+n=6，mn-12=-7.解得m=5，n=1.或m=1，n=5.故所求函數(shù)表達(dá)式為y=5x2+43x+1x2+1或y=x2+43x+5x2+1.

總之，待定系數(shù)法是一種重要的學(xué)習(xí)方法，也是數(shù)學(xué)研究中一種不可缺少的數(shù)學(xué)方法.本文介紹了待定系數(shù)法在初等數(shù)學(xué)中數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到待定系數(shù)法在不定積分中、常微分方程中和初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.通過以上實(shí)例說明了待定系數(shù)法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.