淺談化歸方法在初中數(shù)學教學中的應用

冷文躍

摘要：數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎知識的重要組成部分，化歸是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，它貫穿于整個數(shù)學之中。本文從化歸思想方法的概念、化歸方法的基本原則、常用的化歸方法、初中學生在學習數(shù)學過程中形成化歸思想方法一般要經(jīng)過的階段等方面進行闡述，表明化歸思想方法在學生學習數(shù)學中的深遠影響。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；思想方法；化歸

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）21-052-2數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎知識的重要組成部分，化歸是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，它貫穿于整個數(shù)學之中。掌握并學會用化歸的思想方法分析和解決問題，是學習和研究數(shù)學的關(guān)鍵。化歸思想方法的形成高于知識的理解和掌握，化歸方法應用要與知識教學、學生認知水平相適應，應螺旋式上升，并遵循階梯式的層次結(jié)構(gòu)。

一、何謂化歸思想方法

所謂“化歸”，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，即將一個生疏、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟知，簡單的問題來處理。在解決數(shù)學問題時，人們常常將待解決的問題甲，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一個已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解答返回去求得原問題甲的解答，這就是化歸方法的基本思想。中學數(shù)學中，化歸方法的應用無處不在，例如：在方程研究中，將簡單的高次方程、分式方程、根式方程化為一元二次方程來求解。所以數(shù)學中注重化歸思想的培養(yǎng)對學生學習數(shù)學，發(fā)展解題能力都無疑是至關(guān)重要。化歸方法的要素：1.化歸對象，即對什么東西進行化歸；2.化歸目標，即化歸到何處去；3.化歸途徑，即如何進行化歸。

為了更好地理解化歸方法的具體含義，《數(shù)學史和數(shù)學方法論》一書第221頁列舉了兩例加以說明，這里不妨再舉一例：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

分析：考慮到圓周角與圓心角的一般關(guān)系，我們可以分為下列三種情況來證明。

（1）如圖1圓心在圓周角的一邊上：易證得∠APB=12∠AOB；

（2）如圖2圓心在圓周角的內(nèi)部：可將該問題分割成兩個圖1狀，再用問題1的方法，易證∠APB=∠APS+∠BPS=12∠AOS+12∠BOS=12∠AOB；

（3）如圖3圓心在圓周角的外部：（同問題2）易得∠APB=∠BPS-∠APS=12∠BOS-12∠AOS=12∠AOB。

二、化歸方法的基本原則

（1）熟悉化原則：如果能將待解決的陌生問題化歸為一個比較熟悉的問題，就可以充分調(diào)動已知的知識和經(jīng)驗用于面臨的新問題，從而有利于問題的解決。例如用熟悉的正方形的面積來得到并理解勾股定理。

（2）簡單原則：若能將一個復雜的問題化歸為比較簡單的問題，則問題會更容易得到解決，通過分類、討論、割補、特殊化、換元等具體方法亦可使問題變得更簡單。例如：在方程研究中，將簡單的高次方程、分式方程、根式方程化為一元二次方程來求解。

（3）具體化原則：把比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較具體、直觀的問題以便形象地把握問題所及的各個之間的關(guān)系，使問題易于解決。例如“曹沖稱象”的故事已為大家熟知。

（4）極端化原則：數(shù)學中有許多極端情況，例如，點是圓的半徑為0的極端情況，切線是割線的極端情況等等。

三、常用的化歸方法

1.架設化歸橋梁

架設化歸橋梁就是在問題的連結(jié)點之間建立通道，創(chuàng)造條件達到化歸的目的，其形式有：選取過渡元素，添置輔助線（輔助圖形）建立引理或預備定理等，橋梁架設的關(guān)鍵在于合理、恰當，能起引渡作用。

例1：在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC=b，AB=AC=AD=a，求BD的長。

解：以A為圓心，a為半徑畫圓，由條件知B、C、D三點共⊙A，延長BA交于⊙A點E

連結(jié)ED，∵DC∥AB，∴DE=BC故DE=BC=b

在△BDEK中，∵BE是⊙A直徑，

∴∠BDE=90°，由購股定理得BD=4a2-b2。

若將思路固死在直線形內(nèi)，則問題很難解決，此題中添作了輔助圓，從而提供了新條件使問題化歸到直角三角形中得到解決。

2.轉(zhuǎn)化思維角度

某些問題的解決按常規(guī)思維難以奏效時，考慮從另一角度來研究，會產(chǎn)生“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的效果。思維角度的轉(zhuǎn)化主要包括：代數(shù)→←三角、幾何；數(shù)→←形；正→←反；動→←靜；特殊→←一般；抽象→←具體。轉(zhuǎn)化關(guān)鍵是：尋找轉(zhuǎn)化契機，創(chuàng)造轉(zhuǎn)化條件?！昂瘮?shù)與方程”的轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想，用它解題的思路是運用運動、變化、聯(lián)系、對應的觀點去分析數(shù)學問題。它以其奠基性、工具性、實用性等特征而成為解決問題的兩把“鑰匙”，應予重視。

如，在講二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的位置關(guān)系時，如果要通過畫圖來判斷的話，其一畫圖要多么的精確，其二要浪費多少時間。但是如果把其轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況就簡單了，只要運算Δ即可。當Δ>0時，則二次函數(shù)圖像與x軸有兩個交點；當Δ=0時，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有一個交點；當Δ<0時，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸沒有交點。通過這樣的轉(zhuǎn)化學生很容易的就能接受。

3.分解與組合

所謂分解就是把一個“復雜的大問題”分解為一組“簡單的小問題”來處理的解題策略。

例如：k為何值時，關(guān)于二次方程2（m+1）x2-4mx+3（m-1）=0至少有一個正根？

簡析：至少有一個正根情況較為復雜，可以分為三種簡單情況：（1）有兩個正根；（2）有一個正根和一個零根；（3）有一個正根和一個負根；這三種情況解決后，綜合它們結(jié)果，即得原問題的解。

所謂組合是相對分解而言，我們在考慮問題時，應注意整體結(jié)構(gòu)，不獨立地看問題，常常將各個局部因素合二為一，從而使問題順利，簡單地解決。

4.整體分析化歸

將一個式子視為一個整體，從而給問題帶來轉(zhuǎn)機，可獲得奇妙的整體效應，整體分析主要包括：整體代入和整體處理，其關(guān)鍵在于產(chǎn)生或?qū)ふ夷芙o問題帶來轉(zhuǎn)機的整體，即換元法解決問題，顯得簡潔、明快，這就是整體代入所產(chǎn)生的效應。

例：求函數(shù)y=-（x-2）2+3|x-2|+5的最大值。

簡析：此函數(shù)的形式看上式比較復雜，若把絕對值符號去掉，則必須分類討論。但從整體上看與二次函數(shù)很相似，為此把（x-2）2看成|x-2|2，即原式可化為y=-|x-2|2+3|x-2|+5

令t=|x—2|，當t=32時，函數(shù)y有最大值=294，

即x=72或12時，函數(shù)y取最大值=294。

換元法即整體分析化歸，在初中階段是一種較常的數(shù)學方法，換元的作用是將復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化。

5.實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型

例如：一水壩橫斷面為等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度為1∶3，破面AB的水平寬度為33，上底寬AD為4米，求坡角B壩高AE和壩底寬BC各是多少米？

分析：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型構(gòu)造直角三角形問題。就是解決直角三角形問題。

四、初中學生在學習數(shù)學過程中形成化歸思想方法一般經(jīng)過的四個階段

1.滲透孕育期。這一階段可以通過有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的四則運算、整式加減、一元一次方程的解法教學來反復孕育化歸思想方法，使學生初步了解和體會到化歸思想方法的意義和價值。

2.領悟形成期。這一階段可以通過“二元一次方程組”、“一元一次不等式（組）”、“整式乘除”等內(nèi)容的教學，從正面向?qū)W生介紹化歸目標、確定化歸方法，并通過引典故、舉范例，深化學生對化歸思想方法的認識，在此基礎上應用它去探索分析問題，使學生初步形成化歸思想方法的雛形。

3.應用發(fā)展期。這一階段可以通過引導學生參與知識發(fā)生過程，進一步揭示、概括、提煉化歸思想方法，更高層次地領悟化歸思想方法的涵義及其價值。在宏觀上培養(yǎng)學生應用化歸思想方法增強知識遷移的能力；在微觀上，強化化歸技能技巧的訓練，使學生現(xiàn)有知識形態(tài)的化歸思想方法逐漸內(nèi)化為意識形態(tài)的化歸思想方法。

4.鞏固深化期。這一階段可以通過“函數(shù)”、“圓”等內(nèi)容的教學，特別在解幾何問題時，引導學生把解決的幾何問題作為化歸對象，把基本圖形作為化歸目標，將復雜圖形化歸為基本圖形等，通過不斷地在新情景下應用化歸方法，可使學生進一步鞏固、深化對化歸思想方法的理解，從而有意識嘗試用數(shù)學思想方法指導自己的思維活動，形成獨立探索問題的能力。

在數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生運用化歸原則來解題，不僅能起到鞏固舊知識，促進理解掌握新知識的作用，而且對提高學生解決問題的策略水平有著深遠的影響。學習數(shù)學的最大障礙是自信力的缺乏，而掌握化歸思想又將有助于學生自信心的形成與鞏固，從而在不斷的成功中追求新的更大的成功。