高中數(shù)學(xué)解析幾何高考試題分析與教學(xué)策略研究

陳晨

摘 要：高中數(shù)學(xué)解析幾何是重要的教學(xué)內(nèi)容之一，有著豐富的數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)在高考試題中又占有舉足輕重的地位，分值較大。通過(guò)分析近年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題中的解析幾何試題，基于高考試題談解析幾何教學(xué)，從解析幾何高考試題引發(fā)思考，探究高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解析幾何；高考數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

一、高中數(shù)學(xué)中解析幾何內(nèi)容及學(xué)習(xí)問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)中解析幾何有著重要地位，是高考中重要的考查內(nèi)容。在人教A版教材中，解析幾何內(nèi)容編排在《直線與方程》《圓與方程》《圓錐曲線與方程》《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》等章節(jié)，有平面解析幾何、立體解析幾何兩大部分內(nèi)容，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，分析點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)、曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題或用代數(shù)問(wèn)題研究幾何問(wèn)題。

在高考解析幾何試題中，學(xué)生的得分率普遍較低，很多學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的水平尚未達(dá)到高考要求。高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)存在一些問(wèn)題，主要表現(xiàn)為學(xué)生懂而不會(huì)、會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全、全而不快。其中，懂而不會(huì)，學(xué)生只是生搬硬套、表面理解解析幾何概念，產(chǎn)生自我假懂的現(xiàn)象；會(huì)而不對(duì)，解析幾何問(wèn)題的解決，通常用到直角坐標(biāo)系，包括大量的運(yùn)算，可是學(xué)生的運(yùn)算能力較薄弱，即使找對(duì)了解法，也難以做對(duì)解析幾何題目；對(duì)而不全，學(xué)生在解析幾何問(wèn)題解決過(guò)程中，往往忽視動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；全而不快，學(xué)生在解析幾何過(guò)程中，往往照搬解題程序，對(duì)于思路寬的解析幾何問(wèn)題則缺少創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)生不敢動(dòng)筆，或者直接放棄嘗試高效率的算法。筆者基于分析高考解析幾何試題，給出恰切的解析幾何教學(xué)策略，提高解析幾何教學(xué)效益，幫助學(xué)生克服解析幾何考試畏懼心理，取得理想的解析幾何得分成績(jī)。

二、高考解析幾何試題分析

筆者所在廣東省高考使用試卷為全國(guó)卷I卷，故此筆者對(duì)2013～2015年的全國(guó)卷1中的解析幾何考查部分進(jìn)行梳理總結(jié)，剖析典型高考題，為解析幾何教學(xué)提出策略與建議。

1.高考解析幾何試題考查對(duì)比

從全國(guó)卷I中解析幾何考查知識(shí)點(diǎn)整體看，覆蓋范圍寬，視角高，層次性的考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，同時(shí)還滲透了對(duì)數(shù)學(xué)思想的考查，從2013年-2015年，全國(guó)卷I中對(duì)文科和理科不同學(xué)生的解析幾何知識(shí)點(diǎn)考查具體見(jiàn)下表所示。

2013～2015年全國(guó)卷I解析幾何試題題量看，是“兩小一大”，兩個(gè)小的客觀題，一個(gè)大的解答題，分值分別為5∶5∶12。近3年的全國(guó)卷I試題中，文科理科解析幾何試題共有11個(gè)選擇題和填空題，題目一樣的只有1個(gè)，文科和理科的試題考查差異性較大，對(duì)解析幾何知識(shí)點(diǎn)的考查交錯(cuò)互補(bǔ)，對(duì)學(xué)生綜合知識(shí)運(yùn)用和問(wèn)題解決能力的要求較高；文科和理科解析幾何試題共有5個(gè)解答題，題目一樣的只有1個(gè)，題型相對(duì)常規(guī)，考查重點(diǎn)是解析幾何通性通法。

2013～2015年，全國(guó)卷I中對(duì)解析幾何的知識(shí)點(diǎn)（直線、圓和橢圓、雙曲線、拋物線）基本全部有所涉及。其中，選擇題和填空題?？純?nèi)容為雙曲線漸近線方程、圓錐曲線的定義與方程、離心率、幾何性質(zhì)、拋物線準(zhǔn)線，客觀題區(qū)分度明顯，是能力立題的集中體現(xiàn)；解答題考查內(nèi)容多是直線與橢圓、直線與圓、直線與拋物線位置關(guān)系，直線與圓位置關(guān)系分量較重，?？純?nèi)容是位置關(guān)系中相交弦構(gòu)成圖形的取值范圍、最值問(wèn)題。在解答題設(shè)計(jì)中，多以三角形面積計(jì)算為導(dǎo)引，轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)和距離的求解，在具體運(yùn)算中用到韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、焦半徑等公式，設(shè)而不求的代換思想，簡(jiǎn)化解答題的運(yùn)算，全國(guó)卷I對(duì)解析幾何的考查本質(zhì)集中體現(xiàn)了代數(shù)問(wèn)題研究幾何問(wèn)題。

2.高考解析幾何試題具體評(píng)述

（1）數(shù)學(xué)知識(shí)：從記憶到聯(lián)想

從高考試題中解析幾何考查知識(shí)點(diǎn)看，對(duì)雙曲線、拋物線、橢圓的定義和性質(zhì)進(jìn)行基本考查，考點(diǎn)有：定義、性質(zhì)、軌跡方程的求解，這就需要學(xué)生在解題時(shí)，結(jié)合自己對(duì)定義的深刻理解，聯(lián)想到定義、性質(zhì)，在應(yīng)用中“得心應(yīng)手”。

（2015全國(guó)卷I文5）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)重合，A、B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則AB=（ ）

A.3 B.6 C.9 D.12

【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線幾何性質(zhì)的考查，解題基礎(chǔ)：明確概念、分清基本量關(guān)系，題目具有一定的綜合性。

（2）數(shù)學(xué)能力：運(yùn)算能力與思維能力并重

高考解析幾何試題中，每年必考大的解答題，幾乎都可以用坐標(biāo)法求解，這就需要學(xué)生在運(yùn)算中熟悉幾何條件本質(zhì)特征，能夠以恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式，表示平行、垂直、面積、中點(diǎn)、距離等關(guān)系，學(xué)生需要弄清算理，明確算法，運(yùn)算算法，得出結(jié)論。數(shù)學(xué)思維決定數(shù)學(xué)算理的正確性、數(shù)學(xué)運(yùn)算的方向，而運(yùn)算能力則決定了數(shù)學(xué)思維具體轉(zhuǎn)化施行的有效性。

（2013全國(guó)卷I理10）已知橢圓E：+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則E的方程為（ ）

A.+=1 B.+=1

C.+=1 D.+=1

【點(diǎn)評(píng)】利用直線與橢圓關(guān)系聯(lián)立方程，應(yīng)用韋達(dá)定理計(jì)算a、b關(guān)系，再利用差點(diǎn)法設(shè)而不求思想，計(jì)算中點(diǎn)弦問(wèn)題，運(yùn)算簡(jiǎn)單快捷。

（3）數(shù)學(xué)思想：融會(huì)貫通數(shù)學(xué)思想與方法

高考解析幾何試題以知識(shí)點(diǎn)為載體，但又蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思想。解析幾何試題的基本特點(diǎn)是利用坐標(biāo)系，求解幾何問(wèn)題，究其核心是數(shù)形結(jié)合思想。而且，高考解析幾何解答題具有綜合性，對(duì)綜合數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，在問(wèn)題解決中涉及了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類與整合思想、函數(shù)與思想、特殊與一般思想。

（2014全國(guó)卷I理20）已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

①求E的方程；

②設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線L與E相交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ面積最大時(shí)，求L的方程。

【點(diǎn)評(píng)】該題集中體現(xiàn)了函數(shù)思想，整體處理時(shí)用到韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化運(yùn)算；在計(jì)算中引入關(guān)聯(lián)變量，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，是解決該題的重要數(shù)學(xué)思想和方法。

三、高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)策略

1.理解是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動(dòng)態(tài)探究

在高中數(shù)學(xué)解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)教學(xué)中，筆者建議可以適當(dāng)應(yīng)用信息技術(shù)，將信息技術(shù)與解析幾何整合教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，體現(xiàn)幾何直觀，提高解析幾何教學(xué)效率。通過(guò)信息化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，帶領(lǐng)學(xué)生溝通數(shù)式與圖形的表征，在動(dòng)態(tài)化課件中，感受解析幾何的直觀性，通過(guò)演示幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，幫助學(xué)生觀察現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，探究幾何問(wèn)題，得出解析幾何結(jié)論。通過(guò)信息技術(shù)制作的課件，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式，為學(xué)生提供從感性到理性的解析幾何認(rèn)識(shí)過(guò)程，對(duì)解析幾何進(jìn)行動(dòng)態(tài)探究，感受解析幾何的動(dòng)態(tài)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的興趣，增強(qiáng)學(xué)生解析幾何想象力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀察力，為更好地理解解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)奠定基礎(chǔ)，加深學(xué)生對(duì)解析幾何知識(shí)的理解與掌握。

理解是關(guān)鍵，在信息技術(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，筆者建議：第一，注意交互。教師將信息技術(shù)與解析幾何教學(xué)整合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)解析幾何教學(xué)和信息技術(shù)教學(xué)整合，擴(kuò)充學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)空，觀察解析幾何動(dòng)態(tài)演變，或開(kāi)展自主解析幾何學(xué)習(xí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力；第二，動(dòng)靜結(jié)合。信息技術(shù)課件數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)演示下，解析幾何問(wèn)題的表現(xiàn)形式多樣化，點(diǎn)、線、圖形變化，讓課堂撲朔迷離，有別樣的動(dòng)態(tài)美，讓學(xué)生賞心悅目。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，動(dòng)中有靜，形中有數(shù)，靜中有動(dòng)，數(shù)中藏形，動(dòng)靜相宜，數(shù)形相生，揭示了解析幾何本質(zhì)規(guī)律，推動(dòng)學(xué)生圖形和數(shù)式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維和邏輯思維；第三，適度適時(shí)。在解析幾何傳統(tǒng)教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)中，適時(shí)使用信息技術(shù)，創(chuàng)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，聚焦學(xué)生認(rèn)知沖突，把準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知生成，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知成長(zhǎng)，為學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何指明方向。

2.算理是主線：強(qiáng)化運(yùn)算，達(dá)成求簡(jiǎn)

在高中解析幾何教學(xué)中，也要注重對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生數(shù)與式的運(yùn)算能力，奠定解析幾何正確解答，三角函數(shù)、不等式、向量、立體幾何等綜合問(wèn)題正確解答基礎(chǔ)，教師教會(huì)學(xué)生算理，合理設(shè)計(jì)算法，強(qiáng)化運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)論，欣賞解析幾何運(yùn)算美，鼓勵(lì)學(xué)生迎難而上，在耐心細(xì)致中“不怕繁”，最終發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)，達(dá)成

求簡(jiǎn)。

算理是主線，在高中解析幾何強(qiáng)化運(yùn)算教學(xué)中，筆者建議：第一，要“精講多練”，賦予解析幾何運(yùn)算練習(xí)新內(nèi)涵。在解析幾何運(yùn)算教學(xué)中，經(jīng)典做法就是精講多練，教師精講，學(xué)生多練。教師通過(guò)對(duì)解析幾何典型例題的講解，特別是高考試題中解析幾何的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)和試題，教師要詳細(xì)講解，鞏固解析幾何知識(shí)的同時(shí)，講述解析幾何解題思路、解答方法；第二，教師結(jié)合學(xué)生解析幾何解題現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解析幾何運(yùn)算存在的問(wèn)題，剖析成因，對(duì)癥下藥，引導(dǎo)學(xué)生明確解題目的，轉(zhuǎn)化、分析解析幾何圖形，構(gòu)建坐標(biāo)系，求解解析幾何，按照清晰的解題思路運(yùn)算解答。通過(guò)“雙重”運(yùn)算能力強(qiáng)化，培養(yǎng)學(xué)生解析幾何求解舉一反三的能力，闡釋精講多練新內(nèi)涵?？傊诮馕鰩缀芜\(yùn)算中，算理是主線，學(xué)生作為解析幾何運(yùn)算主體，亦是算理的主體，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握運(yùn)算方向，認(rèn)清算與理的關(guān)系，做好運(yùn)算準(zhǔn)備，通過(guò)多練習(xí)強(qiáng)化運(yùn)算能力，達(dá)成求簡(jiǎn)。

3.數(shù)形結(jié)合是核心：分析解題，誘思導(dǎo)悟

數(shù)與形，相倚相依，數(shù)缺形則少直觀，形缺數(shù)則難入微，數(shù)形結(jié)合則代數(shù)與幾何統(tǒng)一，萬(wàn)事休。高中解析幾何中考查數(shù)量關(guān)系研究幾何形狀，用幾何形狀轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系，涉及幾何運(yùn)算的數(shù)與形雙重性。因此，高中解析幾何教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是核心，通過(guò)分析解題，誘思導(dǎo)悟，探索數(shù)形幾何。

數(shù)形結(jié)合是核心，在高中解析幾何數(shù)學(xué)思想教學(xué)中，筆者建議：第一，挖掘“形”，簡(jiǎn)化“數(shù)”。學(xué)生在基本掌握通性通法基礎(chǔ)上，掌握相得益彰的解題方法，通過(guò)反思，擴(kuò)大解題成果，突破思維定式，發(fā)散思維，一題多解。通過(guò)數(shù)學(xué)類比推廣，多題歸一，反思數(shù)學(xué)規(guī)律，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，形成解題思維，創(chuàng)新思維；第二，對(duì)數(shù)形轉(zhuǎn)化實(shí)施專項(xiàng)訓(xùn)練——變式訓(xùn)練，解析幾何問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn)在于代數(shù)式與幾何的正確轉(zhuǎn)化，實(shí)施變式訓(xùn)練，突出解析幾何問(wèn)題結(jié)構(gòu)特征，揭示解析幾何知識(shí)關(guān)聯(lián)，從多角度分析比較問(wèn)題，得出解題策略。通過(guò)專項(xiàng)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生“熟能生巧”，在掌握解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)上，訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合思想，利用變式訓(xùn)練，優(yōu)化解析幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，靈活解決解析幾何問(wèn)題。變式訓(xùn)練，讓學(xué)生發(fā)散思維，縱橫思索，變式探究，推廣引申，誘思導(dǎo)悟。

通過(guò)梳理人教A版教材中解析幾何內(nèi)容，立足學(xué)生懂而不會(huì)、會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全、全而不快四大解析幾何學(xué)習(xí)問(wèn)題，分析近3年高考全國(guó)卷I，歸納解析幾何“兩小一大”命題結(jié)構(gòu)與規(guī)律，揭示高考試題中解析幾何數(shù)學(xué)知識(shí)：從記憶到聯(lián)想、運(yùn)算能力與思維能力并重、融會(huì)貫通數(shù)學(xué)思想與方法考查三維內(nèi)容，繼而提出高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)策略，理解是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動(dòng)態(tài)探究；算理是主線：強(qiáng)化運(yùn)算，達(dá)成求簡(jiǎn)；數(shù)形結(jié)合是核心：分析解題，誘思導(dǎo)悟，優(yōu)化解析幾何課堂教學(xué)，提升解析幾何教學(xué)效益，幫助學(xué)生夯實(shí)解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)，提高解析幾何運(yùn)算能力，創(chuàng)新解析幾何求解思維，促使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，爭(zhēng)取在高考中取得不錯(cuò)的成績(jī)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊志元.一道解析幾何題的教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（11）.

[2]徐朝生.解析幾何高考試題分析研究[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2016（3）：47.

[3]劉寧.高中解析幾何的教學(xué)策略[J].課程教育研究，2015（21）：114-115.

[4]朱斌.高中解析幾何教學(xué)策略論談[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2012（12）：7.

[5]黃劍.從近年常見(jiàn)的一類高考解析幾何綜合題談平時(shí)的教學(xué)策略[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2010（8）：38-40.