以計(jì)算均勻球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例淺談微元的選取

饒黃云， 趙 鵬， 曾省輝， 黃 山

(東華理工大學(xué) 撫州師范學(xué)院，江西 撫州 344000)

以計(jì)算均勻球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例淺談微元的選取

饒黃云， 趙 鵬， 曾省輝， 黃 山

(東華理工大學(xué) 撫州師范學(xué)院，江西 撫州 344000)

恰當(dāng)選取微元，是應(yīng)用微元法計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)鍵。通過(guò)分析均質(zhì)球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算中微元的選取的例子，闡明合適選取微元，必須建立好物理模型，如此，不僅計(jì)算簡(jiǎn)便，重要的是從不同角度加深了對(duì)物理概念的理解，同時(shí)也促進(jìn)對(duì)微積分的應(yīng)用的再認(rèn)識(shí)。

物理模型；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；均質(zhì)球體；微元

饒黃云，趙鵬，曾省輝，等.以計(jì)算均勻球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例淺談微元的選取[J].東華理工大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2016，35(4)：386-388.

Rao Huang-yun，Zhao Peng, Zeng Sheng-hui,et al.Discussion on the Selection of infinitesimal elements through taking the calculation of rotational inertia of even sphere for example[J].Journal of East China University of Technology(Social Science)，2016，35(4)：386-388.

微元法是物理學(xué)分析、解決物理問(wèn)題中常見(jiàn)的一種方法，也是從部分到整體的思維方法。微元法是指在處理問(wèn)題時(shí)，先對(duì)事物的極小部分(微元)分析入手，探求每個(gè)微元遵循的相同規(guī)律，然后再進(jìn)行必要的物理思想和數(shù)學(xué)方法處理，以達(dá)到解決事物整體目的的方法。其主要思想就是“化整為零”，先分析“微元”，再通過(guò)“微元”分析整體。微元法在物理學(xué)各門(mén)課程中如力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。掌握微元法，對(duì)于培養(yǎng)提高學(xué)生分析、解決物理問(wèn)題的能力意義重大。

在剛體力學(xué)研究中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)非常重要的物理量，它是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，其作用可類(lèi)比平動(dòng)中的物體的質(zhì)量。現(xiàn)有教材[4，5]和文獻(xiàn)[6，7]介紹了各種計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。采用微積分來(lái)求解物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)際上就是微元法思想的應(yīng)用過(guò)程。本文以微元的選取為主線(xiàn)，給出均勻球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾種不同計(jì)算方法，其最終結(jié)果是一致的。

1 分別選取圓環(huán)及簿圓盤(pán)為質(zhì)元

(1) 先考慮一個(gè)質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)，繞過(guò)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

J=mR2

(2)其次將圓盤(pán)可以看成是大小不同的圓環(huán)疊加而成的(設(shè)面密度為σ,以下相同)。

(3)再考慮均勻球體可以看成是大小不同的圓盤(pán)疊加而成(設(shè)ρ為體密度，以下相同)。半徑為r、厚度為dz的薄圓盤(pán)微元對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

則均勻球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

2 分別選取圓環(huán)帶及簿球殼為質(zhì)元

(1) 先考慮一個(gè)質(zhì)量為dm，面密度為σ，半徑為r,圓弧長(zhǎng)為dl=Rdφ的圓環(huán)帶(類(lèi)比圓環(huán))繞過(guò)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

dJ=r2dm(dm=σ2πrdl=σ2πRsinφRdφ),

(2) 其次將簿球殼可以看成是大小不同的圓環(huán)帶疊加而成的

( 3)再考慮球體可以看成是大小不同的簿球殼疊加而成的。

則均勻球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

3 直接選取基本體積元為質(zhì)元

在球面坐標(biāo)系中，選取任意一體積元作為質(zhì)元。體積元的體積為：

dV=rsinφdθ·rdφ·dr,dm=ρdV

則均勻球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

4 利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義和對(duì)稱(chēng)性來(lái)計(jì)算

在直角坐標(biāo)系中，取球心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，均勻球體對(duì)各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和為：

Ix+Iy+Iz=∫(y2+z2)dm+∫(x2+z2)dm+∫(x2+y2)dm=2∫r2dm

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，Ix=Iy=Iz，

有，3Iz=2∫r2dm

則均勻球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

5 小結(jié)

物理學(xué)長(zhǎng)期發(fā)展形成的科學(xué)思想和方法對(duì)整個(gè)自然科學(xué)也包括社會(huì)科學(xué)的研究發(fā)展和進(jìn)步具有較大的影響和促進(jìn)作用。從一定意義上說(shuō)，學(xué)生素質(zhì)和創(chuàng)新能力的高低，主要體現(xiàn)在掌握科學(xué)思想和方法的多少及應(yīng)用方法的靈活、熟練程度[8]。在上述均勻球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解方法一中，我們分別選取圓環(huán)和薄圓盤(pán)作為微元；方法二中，我們分別選取圓環(huán)帶(類(lèi)似圓環(huán))和薄球殼作為微元；方法三在球坐標(biāo)系中，直接選取基本體積質(zhì)元為微元；尤其在方法四中，我們巧妙利用了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義和對(duì)稱(chēng)性來(lái)計(jì)算。通過(guò)比較上述求解過(guò)程，進(jìn)一步研究表明，物理模型的確立和微元的合適選取是解決問(wèn)題的關(guān)鍵[9]。這樣，不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，更重要的是從不同的角度深化了對(duì)物理概念及模型的本質(zhì)理解，同時(shí)也促進(jìn)對(duì)微積分的應(yīng)用的再認(rèn)識(shí)。當(dāng)前國(guó)家積極提倡對(duì)大學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育培養(yǎng)，因此，我們?cè)谖锢斫虒W(xué)中，更應(yīng)注意結(jié)合具體問(wèn)題的分析和求解，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、開(kāi)發(fā)智力，開(kāi)拓思維，并為學(xué)生提供全面發(fā)展的空間。還應(yīng)不斷探索新的教學(xué)方法，采用新的教學(xué)手段，以提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)國(guó)家需要的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才[10]。

[1]鄧發(fā)明，李光耀.普通物理學(xué)中的微元法[J].廣西右江民族師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2002(12)：28-29.

[2]覃銘.微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 [J].廣西右江民族師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2002(12)：28-29.

[3]張桂琴.微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用 [J].曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(3)：30-33.

[4]吳百詩(shī).大學(xué)物理(新版)[M].北京：科學(xué)出版社2001，188.

[5]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社 1986:176-184.

[6]樓智美.巧算常見(jiàn)均勻旋轉(zhuǎn)體對(duì)母線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J].大學(xué)物理，2003，22(11)：26-27.

[7]秦瑤.常見(jiàn)均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法討論[J].大學(xué)物理，2002，21(2)：39-41.

[8]饒黃云，符五久.大學(xué)物理教學(xué)中物理思想和方法的滲透[J].東華理工大學(xué)：社會(huì)科學(xué)版，2007，26(1)：80-83.

[9]黎定國(guó)，鄧玲娜，劉義保，等.大學(xué)物理中微積分思想和方法教學(xué)淺談[J].大學(xué)物理，2005，24(12)：51-54.

[10]饒黃云. “磁場(chǎng)與電磁波”課程的教學(xué)研究 [J].東華理工大學(xué)：社會(huì)科學(xué)版， 2010，29(1)：71-73.

Discussion on the Selection of Infinitesimal Elements Through Taking the Calculation of Rotational Inertia of Even Sphere for Example

RAO Huang-yun， ZHAO Peng, ZENG Sheng-hui, HUANG Shan

(Fuzhou Normal College of East China University of Technology，F(xiàn)uzhou 344000, China)

The proper selection of infinitesimal elements is the key to calculate the rotational inertia of rigid bodies with infinitesimal method. Through analyzing the examples of selecting infinitesimal elements in the calculation of rotational inertia of even sphere, the paper states, in order to make a proper selection of infinitesimal elements, the physical model must be first established. In this case, the calculating will become easy, and the more important is that it will deepen the understanding of physical concepts from different angles and promote the recognition on the application of the differential and integral calculus.

the physical model； constant rotation quantity; even sphere; infinitesimal elements

2016-04-21

東華理工大學(xué)大學(xué)物理教學(xué)培育團(tuán)隊(duì)基金資助；東華理工大學(xué)長(zhǎng)江學(xué)院2015年立項(xiàng)教研課題。

饒黃云(1965—)，男，江西撫州人，副教授，主要從事物理教學(xué)及量子幾何研究。

G642.423

A

1674-3512(2016)04-0386-03