挖掘課本例習(xí)題教育價值的幾點體會

何慧梅

[摘要]當(dāng)前課本中的例習(xí)題都是經(jīng)過精心挑選的，非常具有代表性和導(dǎo)向性，且有不可忽視的教育價值，課本中有不少例習(xí)題都已演變成各地的高考數(shù)學(xué)試題。但在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)教師通常會覺得課本例習(xí)題過于簡單、缺乏新意，沒有進(jìn)行深入的研究，也就沒法悟到課本例習(xí)題的設(shè)計意圖。因此，在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)用好用“活”課本例題習(xí)題，引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高問題的洞察力和鑒別力。這里結(jié)合多年的基層教學(xué)工作經(jīng)驗就挖掘課本例習(xí)題的教育價值問題談?wù)剮c體會。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)；課本例習(xí)題；教育價值

課本是教師課堂教學(xué)的材料與依托，課本中的例習(xí)題不是盲目隨意拼湊的，而是為了幫助學(xué)生更深入的認(rèn)識和運用所學(xué)的新知識，具有很高的教育價值。然而調(diào)研中發(fā)現(xiàn)教師通常會覺得課本例習(xí)題過于簡單，缺乏新意，而沒有進(jìn)行深入的研究。教師應(yīng)仔細(xì)地品味“原題”，讓課本例習(xí)題“舞”起來，下面針對挖掘課本例習(xí)題的教學(xué)價值談幾點體會：

一、在課本例習(xí)題教學(xué)中理解概念

很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門抽象難懂、枯燥無味的學(xué)科。例如對于概念理解的問題，學(xué)生總覺得晦澀難解，不容易引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師應(yīng)充分利用課本例習(xí)題，讓學(xué)生在可能中探究，以達(dá)到授業(yè)解惑的目的。

題1、如果橢圓 + =1上一點P到焦點F1的距離等6，則點P到另一個焦點F2的距離是 。 （選修2-1P42練習(xí)1）

題2、已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是（0，-2）（0，2），并且橢圓經(jīng)過點（- ， ），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（ 選修2-1P40例1 ）

題3、已知橢圓 + =1的右焦點F2作垂直于軸x的直線AB，交橢圓于A，B兩點， F1是橢圓的左焦點。

（1）求△AF1B的周長；

（2）如果AB不垂直于x軸， △AF1B的周長有變化嗎？為什么？（選修2-1P43 練習(xí)3）

題4、一動圓與圓外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程x2+y2+6x+5=0，并說明它是什么樣的曲線。（選修2-1，P50習(xí)題2.2B組第 2題）

對例習(xí)題由淺入深，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相印，把思維逐漸引向深入，使學(xué)生在輕松中品嘗重重成功的喜悅，既掌握了基礎(chǔ)知識，也充分認(rèn)識了問題的本質(zhì)，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，提高概念教學(xué)的有效性。

二、在課本例習(xí)題教學(xué)中歸納總結(jié)

課本中許多例習(xí)題看似平淡無奇，如果放棄了對它的探究，那就枉費教材編輯者的一番苦心。因此教師應(yīng)當(dāng)通過歸納引申來增強(qiáng)學(xué)生獲得知識與技能的運用本領(lǐng)，將幾個例習(xí)題組合在一起，形成一個題組，幫助學(xué)生建構(gòu)一個知識網(wǎng)，是形成通性通法的重要途徑。

題5、如圖，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證： OA⊥OB.（選修2-1，P73 習(xí)題2.4 A組第6題）

引導(dǎo)學(xué)生往改變直線方程或改變拋物線方程是否仍然有 OA⊥OB思路上考慮，下面是所討論結(jié)果的歸納總結(jié)：

引申1設(shè)A，B為拋物線y2=2px（P>0）上原點O以外的兩個動點，若直線過定點（2p，0），則OA⊥OB.（證明略）

引申2 設(shè)A，B是拋物線y2=2px（P>0）上兩個非原點的點， O為原點，若OA⊥OB，則直線AB必過定點（2p，0）.（證明略）

結(jié)論：A，B 是拋物線y2=2px（P>0）上非原點的兩動點， O為原點，則“ OA⊥OB”的充要條件是“AB所在直線必過定點（2p，0）”.（證明略）

下面舉例說明新結(jié)論的應(yīng)用：

例1、如圖，已知直線與拋物線y2=2px（P>0）交于 A，B，兩點且OA⊥OB， OD⊥OB并于AB相交于點D，點D的坐標(biāo)為（2，1），求P的值。

法一：聯(lián)立直線AB和拋物線的方程消去x，再利用韋達(dá)定理可以得到p的值。

法二：因為D（2，1）在直線AB上且OD⊥AB所以易得直線AB的直線方程為y=-2x+5，又OA⊥OB則直線AB過點（2p，0），那么就有2P= ，就得到P= .

例2、 O是直角坐標(biāo)原點， A，B 是拋物線y2=2px（P>0）上異于頂點的兩個動點，且 OA⊥OB， OM⊥AB并于AB相交于點M，求點M的軌跡方程。

法一：用拋物線的參數(shù)方程來解題。

法二：因為 OA⊥OB，由引申2可得直線AB恒過定點N（2p，0），設(shè)M點的坐標(biāo)為M（x，y），因為OM⊥AB，所以有kOMKAB=-1，kOMKMN=-1，則有 =-1.即點M的軌跡方程為：（x-p）2+y2=p2（x≠0）.

教師引導(dǎo)學(xué)生使教材中隱含的解題方法、步驟顯示出來，為學(xué)生解決此類問題提供了簡便的學(xué)習(xí)方案，并能以此為示范，不斷地提升學(xué)生的歸納、總結(jié)能力，這樣也有助于學(xué)生思維“深刻性”、“系統(tǒng)性”的培養(yǎng)與鍛煉。

三、在課本例習(xí)題教學(xué)中領(lǐng)悟思想方法

新課標(biāo)明確提出：“經(jīng)過學(xué)習(xí)，學(xué)生在教師的啟發(fā)下逐步領(lǐng)會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想方法?！焙芏嘟處煻家蓡枺骸盀槭裁催@道題已經(jīng)在課堂上練過、講過，但考試時學(xué)生還是不會？”其實原因就在于學(xué)生缺乏抓住其本質(zhì)的洞察能力，只會機(jī)械的聽、記與模仿。教材通過層層遞進(jìn)的例習(xí)題對相關(guān)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行針對性的訓(xùn)練，教師在課本例習(xí)題教學(xué)過程中要注重數(shù)學(xué)思維的滲透，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找本質(zhì)。

題6、如圖，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D是垂足。當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？（選修2-1 P41例2）

這道例題主要功能：一是讓學(xué)生利用中間變量求點的軌跡方程的方法即為“轉(zhuǎn)移法”；二是讓學(xué)生把所得的軌跡方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對比，再判斷軌跡是什么？三是數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生知道通過伸縮變換能使圓變成橢圓，因此為了讓學(xué)生更好掌握在求解圓錐曲線軌跡時，利用“轉(zhuǎn)移法”尋找各個量之間的關(guān)系，教材再設(shè)置一個例子以及數(shù)道練習(xí)題進(jìn)行鞏固。例如：

題7、如圖，設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是- ，求點M的軌跡方程。（選修2-1P41例3）

題8、點 的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0）直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點M的軌跡是什么？為什么？ （選修2-1 P42練習(xí)第4題）

通過對課本例習(xí)題的講解，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法去解題，使每道例習(xí)題的作用最大化，學(xué)生才能領(lǐng)悟不同的思想方法，才會靈活運用數(shù)學(xué)知識來解決有關(guān)的問題。領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法對教師和學(xué)生來說都很有必要，而學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法意識薄弱以及應(yīng)用理念不足很大程度上是教師在教學(xué)過程中對這方面的不重視或缺乏實質(zhì)、有效性滲透造成的。

四、在課本例習(xí)題教學(xué)中拓展思維

研究課本例習(xí)題的引申與應(yīng)用，有利于逐步擴(kuò)大學(xué)生的思維空間，使新的知識內(nèi)容得以深化，為學(xué)生課后的自主探究留下伏筆。

題9、在中△ABC，已知A=45°，C=60°c=10求解三角形。（必修五P4練習(xí)1）

這道題利用正弦定理很快就可以得出答案，但如果就題論題，講完此題就草草結(jié)束，放棄對它的探究，那么就不能充分發(fā)揮此題目的功能。這就需要教師有目的、正確地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。

變式1在 △ABC中，已知A=45°B=75°，c= ，求解三角形。

變式2 在 △ABC中，已知C=60°a= ，c= ，求解三角形。

變式3 在 △ABC中，已知A=45°，a= ，c= ，求解三角形。

以上變式有拓展、有延伸，形成了一個“問題串”，構(gòu)成了思維的整體性，體現(xiàn)了思維的層次性和探究性，讓學(xué)生在“問題串”的引領(lǐng)下進(jìn)行系列、連續(xù)的思維活動。教師提供給學(xué)生的最好的教育應(yīng)該是激發(fā)他們的興趣，拓展他們的思維空間，使他們的潛能得到最大限度的發(fā)展，從而使學(xué)生真正獲取知識，并使新知識在學(xué)習(xí)中得以深化。

當(dāng)前課本里的例習(xí)題都是經(jīng)過精心設(shè)計挑選的，很有代表性和啟發(fā)性，因此在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)用好用“活”課本例題習(xí)題，鉆研并挖掘課本例習(xí)題的教育價值，引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高問題的洞察力和鑒別力，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行探索與反思，有利于學(xué)生實現(xiàn)深層次的建構(gòu)。

參考文獻(xiàn)：

[1]何廣學(xué).利用課本例習(xí)題，引領(lǐng)課堂教學(xué)走向有效性[J].學(xué)苑教育， 2014（13）.

[2]賀勇久.讓習(xí)題講評課精彩紛呈[J].中學(xué)教學(xué)參考，2010（19）.

（責(zé)任編輯 陳始雨）