例談數(shù)學(xué)習(xí)題課構(gòu)建中的支撐與改進(jìn)

周海濤

[摘 要] 數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)作為一種必不可少的教學(xué)形式，近期越來(lái)越受到廣大教師的重視，尤其是日常教學(xué)的一些環(huán)節(jié)，也確實(shí)取得了不小的進(jìn)展. 但教學(xué)過(guò)程中仍存在一些問(wèn)題. 初中數(shù)學(xué)答題技巧的訓(xùn)練，應(yīng)該被放在首要的位置，現(xiàn)實(shí)的情況是教師為了提高學(xué)生的分?jǐn)?shù)一味地講例題、講模板，卻忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng). 本文將從一些日常實(shí)例入手，剖析如何有效地構(gòu)建習(xí)題課教學(xué)，并提出一些改進(jìn)建議.

[關(guān)鍵詞] 習(xí)題課；構(gòu)建；支撐；改進(jìn)

數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)是以探究數(shù)學(xué)問(wèn)題為主的教學(xué)，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)并培養(yǎng)探究能力的有效途徑. 習(xí)題課中對(duì)于習(xí)題的研究，能夠?qū)W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的發(fā)現(xiàn)、探究、研究與改進(jìn)等認(rèn)知活動(dòng)凸顯出來(lái)，使學(xué)生參與并體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，建構(gòu)起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新的認(rèn)識(shí). 通過(guò)習(xí)題課教學(xué)，學(xué)生可以從多角度深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的有效聯(lián)系. 當(dāng)學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，更容易聯(lián)想起所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行靈活應(yīng)用. 下面，筆者就從日常實(shí)踐過(guò)程中的一些研究和感悟談起，分析習(xí)題課教學(xué)的有效構(gòu)建、支撐和改進(jìn)措施.

習(xí)題課教學(xué)現(xiàn)狀剖析

1. 重“分?jǐn)?shù)”，輕“領(lǐng)悟”

當(dāng)下，很多學(xué)校對(duì)于初中數(shù)學(xué)往往強(qiáng)調(diào)的都是分?jǐn)?shù)，強(qiáng)調(diào)的是怎么用最簡(jiǎn)單的辦法將題目做對(duì). 雖然這種想法本身沒(méi)有錯(cuò)，但是一味地要求解題步驟化和“規(guī)范化”將不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，有的甚至一味地注重對(duì)理論知識(shí)的灌輸，這樣的數(shù)學(xué)就失去了它原本的魅力. 不僅如此，數(shù)學(xué)還要與其他學(xué)科相結(jié)合，以二元一次方程的教學(xué)內(nèi)容為例，可以設(shè)計(jì)可能發(fā)生的實(shí)際問(wèn)題：A，B兩地相距150 km，甲和乙分別從兩地同時(shí)出發(fā)且相向而行，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，他們都保持勻速行駛，也就是說(shuō)，他們各自離A地的距離是花費(fèi)時(shí)間的一次函數(shù)，已知1 h后乙距離A地120 km，2 h后甲距離A地80 km，問(wèn)他們何時(shí)可以相遇. 這道題不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也考查了學(xué)生對(duì)生活問(wèn)題的思考. 因此，如果只重視分?jǐn)?shù)，就失去了分析這道題的另一個(gè)角度，也就使得數(shù)學(xué)失去了原本的魅力. 可見(jiàn)，數(shù)學(xué)成績(jī)需要打好基礎(chǔ)，技巧和能力的培養(yǎng)也同樣重要.

2. 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)單一，缺乏對(duì)比

目前，初中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)學(xué)生的表現(xiàn)還是依靠分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行的，分?jǐn)?shù)高的學(xué)生就能夠在班里受到老師的重點(diǎn)照顧，而分?jǐn)?shù)低的學(xué)生自然就會(huì)被忽視. 其實(shí)在初中就過(guò)分強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)沒(méi)有好處，而且如果過(guò)度的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)于學(xué)生今后的成長(zhǎng)也沒(méi)有好處. 從數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科特點(diǎn)來(lái)看，完全依靠分?jǐn)?shù)來(lái)衡量一個(gè)學(xué)生的成績(jī)是不現(xiàn)實(shí)的，更何況初中階段的學(xué)生，心理和生理還處在一個(gè)迅速發(fā)展的階段，考試過(guò)程中影響發(fā)揮的因素實(shí)在是太多. 一味地套用數(shù)學(xué)公式其實(shí)并不叫真正地掌握，而對(duì)于解題技巧的評(píng)價(jià)，因?yàn)閮?nèi)容太過(guò)籠統(tǒng)就更難以落實(shí)了，所以要對(duì)初中數(shù)學(xué)答題技巧教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)，還需要完善這方面的內(nèi)容. 可見(jiàn)，習(xí)題課教學(xué)需要力求解決以上兩個(gè)主要問(wèn)題而進(jìn)行重新構(gòu)建.

數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)構(gòu)建的支撐點(diǎn)

1. 通過(guò)激勵(lì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如果完全依靠學(xué)習(xí)語(yǔ)文的學(xué)習(xí)方法，是達(dá)不到預(yù)定的學(xué)習(xí)效果的. 因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅要掌握所需的公式法則，還要有完整的運(yùn)算步驟和推理過(guò)程，雖然如此，但是數(shù)學(xué)也同樣需要學(xué)習(xí)熱情，正是因?yàn)楹芏嘟處煻家庾R(shí)不到這一點(diǎn)，所以導(dǎo)致很多學(xué)生會(huì)害怕學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，所以也就沒(méi)什么學(xué)習(xí)熱情，更不用說(shuō)提高數(shù)學(xué)成績(jī)、掌握熟練的解題能力了. 因此，要想在新課改的背景下進(jìn)行習(xí)題課嘗試，首先要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，要觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，掌握學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況，從而有針對(duì)性地入手.

案例1 已知：如圖1，AB∥CD，AB≠CD，E，F(xiàn)分別是BC與AD的中點(diǎn)，求證：EF∥CD.

證明 延長(zhǎng)CD，過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，取BN的中點(diǎn)M，連接FM，連接EM. 因?yàn)锳B∥CD，M，F(xiàn)分別是BN與AD的中點(diǎn)，所以FM∥AB∥CD. 又因?yàn)橹本€EM是△CBN的中位線，所以EM∥CD. 所以E，F(xiàn)，M三點(diǎn)在同一條直線上. 所以EF∥CD.

剖析與構(gòu)建 在這道證明題當(dāng)中，EF與CD的平行關(guān)系其實(shí)在視覺(jué)上是可以得出的，但是證明題需要步驟，而且要用課本上規(guī)定的定理，所以必須讓學(xué)生從條件出發(fā)，進(jìn)行一步步的推理. 在這個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)該做的是從旁進(jìn)行引導(dǎo)，特別是涉及延長(zhǎng)線與中位線的作圖，一定要讓學(xué)生去實(shí)際操作，這樣才能讓學(xué)生有一個(gè)鍛煉的機(jī)會(huì). 而且這類(lèi)題其實(shí)難度并不大，只要學(xué)生足夠細(xì)心，就能得出結(jié)論，所以用此類(lèi)題幫助學(xué)生樹(shù)立信心再好不過(guò)了.

2. 不斷提高學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)能力

比如進(jìn)行反比例函數(shù)內(nèi)容的講解時(shí)，應(yīng)該學(xué)會(huì)讓學(xué)生從圖像和定義入手，發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的特點(diǎn). 下面來(lái)看一個(gè)常見(jiàn)的例子.

案例2 如圖2，直線y=-x+5與雙曲線y=（x>0）相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于C點(diǎn)，△BOC的面積是. 若將直線y=-x+5向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得直線與雙曲線y=（x>0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或2

剖析與構(gòu)建 令直線y=-x+5與y軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，通過(guò)令直線y=-x+5中x，y的值分別等于0，可得出線段OD與OC的長(zhǎng)度，根據(jù)正切值即可得出∠DCO=45°. 再結(jié)合所作的垂直，可以得出△BFC是等腰直角三角形. 根據(jù)已知條件結(jié)合面積公式即可得出線段BF的長(zhǎng)，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得出CF的長(zhǎng)，于是可得OF的長(zhǎng)，以及點(diǎn)B的坐標(biāo). 根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù)k的值. 根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的直線的解析式，并將其代入反比例函數(shù)解析式中，整理后根據(jù)根的判別式的正負(fù)即可得出結(jié)論.

在幾何問(wèn)題中，為了解決問(wèn)題的便利，常將圖形拆分成幾個(gè)三角形，拆分的原則是盡量以坐標(biāo)軸上的線段作為小三角形的一條邊，也就是以坐標(biāo)軸為界拆分復(fù)雜圖形，這樣容易找到三角形的底和高. 把復(fù)雜圖形分解成簡(jiǎn)單的圖形時(shí)，化難為易的轉(zhuǎn)化思想在解三角形面積中是最基本的思想.

3. 熟練掌握解題方法，靈活運(yùn)用理論知識(shí)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)課本上也會(huì)經(jīng)常標(biāo)明一些解題的方法和公式，按照那個(gè)運(yùn)算起來(lái)更加快捷容易，但是由于做題較少，缺乏訓(xùn)練，沒(méi)有熟練掌握運(yùn)算技巧和方法，所以比較容易出錯(cuò). 例如，對(duì)于初三所學(xué)的“解一元二次方程”，有兩個(gè)較為通用的解題方法：一是配方法，即將方程的一邊配成完全平方形式，然后兩邊開(kāi)方；另一個(gè)是因式分解法，即把左邊化成兩個(gè)因式的乘積，右邊化為零.

案例3 解方程：2x2+6x+6=2.

分析 （配方法）原方程可整理為x2+3x+2=0，通過(guò)配方可得（x+1.5）2=0.25，通過(guò)開(kāi)方即可求解. （因式分解法）上式可因式分解為（x+1）（x+2）=0，答案很明顯，即x=-1或x=-2.

所以，對(duì)于解方程一類(lèi)的題，最重要的是讓學(xué)生打好基礎(chǔ). 因此學(xué)生熟練地掌握這些知識(shí)很有必要，不僅可以有效地提高做題效率，還能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和積極性.

習(xí)題課教學(xué)的改進(jìn)

回到案例2，這是一個(gè)經(jīng)典的案例，除了對(duì)思路進(jìn)行剖析以外，是否需要在習(xí)題課上做一些必要的改進(jìn)呢？學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，往往對(duì)知識(shí)的理解呈現(xiàn)出碎片化的特征，所以，教師也需要在系統(tǒng)性方面做一些必要的提升，將解題過(guò)程完整和系統(tǒng)化，下面進(jìn)行四步處理.

第一步：設(shè)直線解析式，通過(guò)作圖進(jìn)行問(wèn)題的初步展開(kāi). 令直線y=-x+5與y軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖3. 令直線y=-x+5中的x=0，則y=5，即OD=5；令直線y=-x+5中的y=0，則x=5，即OC=5.

第二步：通過(guò)幾何性質(zhì)解決這一問(wèn)題. 在Rt△COD中，因?yàn)椤螩OD=90°，OD=OC=5，所以tan∠DCO==1. 所以∠DCO=45°. 因?yàn)锽F⊥x軸，∠DCO=45°，所以△BFC是等腰直角三角形.

因?yàn)镾=OC·BF=×5×BF=，所以BF=1. 所以FC=1. 所以O(shè)F=OC-FC=5-1=4. 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）. 所以k=4×1=4，即雙曲線的解析式為y=.

第三步：通過(guò)綜合知識(shí)的運(yùn)用，將問(wèn)題解決系統(tǒng)化. 直線y=-x+5向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式為y=-x+4，將y=-x+4代入y=中，得-x+4=，化簡(jiǎn)并整理后得x2-4x+4=0，即（x-2）2=0，解得x=2. 所以平移后的直線與雙曲線y=只有一個(gè)交點(diǎn).

第四步：回頭看問(wèn)題解決中用到了哪些知識(shí)點(diǎn)，如何進(jìn)行構(gòu)建和問(wèn)題解決的. 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、特殊角的正切值、三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質(zhì). 解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo). 解決此類(lèi)題型的試題時(shí)，根據(jù)特殊角找出等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

結(jié)語(yǔ)

初中生的數(shù)學(xué)解題能力不高，可以說(shuō)是長(zhǎng)久以來(lái)困擾著我們的一個(gè)很重要的問(wèn)題. 雖然新課改的推進(jìn)工作已經(jīng)進(jìn)行了很長(zhǎng)一段時(shí)間，但是一些細(xì)節(jié)方面還是會(huì)出現(xiàn)很多問(wèn)題. 以上是筆者對(duì)此的總結(jié). 對(duì)于日常的教學(xué)工作，我們需要從實(shí)際出發(fā)，在完善我們教學(xué)工作的基礎(chǔ)之上做到有所突破，這才真正貫徹了新課改的精神.