“直線的兩點式方程”教學(xué)設(shè)計

孫長卿

（人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書A版《數(shù)學(xué)》必修2 第三章直線與方程3.2“直線的方程”第2課時）

學(xué)情分析：

我校為一所普通高中，部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣、知識結(jié)構(gòu)、思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力等方面相對薄弱.

在學(xué)完直線的點斜式方程之后，學(xué)生已經(jīng)建立了兩種具體的直線方程——點斜式、斜截式的概念并會應(yīng)用它們求直線方程，并對直線方程、方程直線的概念有了一定的理解和認(rèn)識，對兩點確定一條直線，直線的縱截距的概念也已經(jīng)明確清晰.但由于部分學(xué)生觀察、類比、遷移、化歸、計算等能力薄弱，可能在兩點式方程形式的導(dǎo)出、綜合性應(yīng)用問題上會有一定困難.

學(xué)習(xí)內(nèi)容分析：

直線方程共有四種特殊形式，本節(jié)課學(xué)習(xí)第三、第四種特殊形式，其重要性略低于前兩種形式，使用頻率也不高.但在體現(xiàn)點斜式方程的應(yīng)用，襯托點斜式方程的重要性及為學(xué)習(xí)一般式方程作鋪墊，體現(xiàn)由特殊到一般的知識歸納提升過程中有著重要意義.

本節(jié)的主要知識點是兩個方程的導(dǎo)出及應(yīng)用，教學(xué)基于點斜式方程；引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會一個數(shù)學(xué)方法——待定系數(shù)法，這種方法在確定曲線方程問題中是常用的重要方法；另外把方程思想、數(shù)形結(jié)合思想貫穿于課堂教學(xué)的始終，強調(diào)解析幾何的一般方法和思想.

通過對兩點式、截距式方程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美等特質(zhì).通過對兩點式方程由分式到整式的變形，幫助學(xué)生了解一般式方程中系數(shù)A、B的幾何意義【直線的方向向量即為（B，-A），法向量為（A，B）】，為學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程做鋪墊.使學(xué)生掌握整式形式的方程是已知兩點求直線方程并化為一般方程的技巧，為學(xué)生感性認(rèn)識行列式、進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)埋下伏筆，體現(xiàn)搭建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺的課程理念.

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：掌握直線的兩點式、截距式方程并會用于求直線方程的相關(guān)問題；

過程與方法：理解兩點式方程的導(dǎo)出過程，掌握求直線方程的直接法及間接法（待定系數(shù)法）；

態(tài)度、情感、價值觀：通過對方程形式美的發(fā)現(xiàn)，感受數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)文化，進一步體會方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.

重點：1.掌握直線的兩點式方程及應(yīng)用；2.掌握求直線方程的兩種基本方法.

難點：兩點式方程的建立，待定系數(shù)法的應(yīng)用，綜合性問題的解決.

教法與學(xué)法：

采用閱讀-交流-展示-提升-檢測等步驟，通過生生互動、師生互動等方式，還時間于學(xué)生、還思維于學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷知識概念及能力的形成過程.生、師的精講及學(xué)生的精練，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)先行，教師斷后的過程，達到提升學(xué)生能力的目的.

基于學(xué)情，教師讓學(xué)生先閱讀本節(jié)知識并小組交流，讓一名成績較好的學(xué)生講解兩點式方程的導(dǎo)出過程，教師通過追問讓全體學(xué)生深刻理解方程的內(nèi)涵與外延.之后及時通過一定量的練習(xí)讓學(xué)生掌握方程并會靈活應(yīng)用.為掌握待定系數(shù)法，教師通過舉例求一元一次函數(shù)解析式時可用待定系數(shù)法類比，求直線方程也可以用待定系數(shù)法并精講求解過程，讓學(xué)生明確步驟、學(xué)會方法.教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、歸納、化歸轉(zhuǎn)化、合作探究等方式，使學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式.

教學(xué)過程（含師生活動）：

復(fù)習(xí)回顧：讓學(xué)生回答上節(jié)課學(xué)習(xí)的直線方程的兩種形式：點斜式及斜截式方程，并明確已知及方程適用條件.

問題導(dǎo)入：利用點斜式、斜截式可求直線方程，若不知k，只知兩個點，能否求直線方程呢？

這兩題由小組搶答完成，由學(xué)生挑錯，教師提醒學(xué)生注意易錯點.對于第（2）題，教師可引導(dǎo)學(xué)生變形，發(fā)現(xiàn)另一種比較完美的直線方程形式：+=1，并加以總結(jié)提升.

解題小結(jié)：

1.解題步驟：明確條件-代入公式-化簡整理；

2.截距式方程及說明：

（1）截距式方程適用于橫、縱截距都存在且都不為0（即ab≠0）的直線；

（2）形式對稱與和諧的特征，并舉出不是截距式方程的例子；

（3）橫、縱截距a、b不是距離，可以為任意實數(shù).

3.四種特殊形式 ：點斜式（斜截式） 兩點式（截距式）

能力提升：

例1已知 三角形ABC的頂點是A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），

（1））求ABC三邊所在直線方程；

（2）求BC邊上中線所在直線方程.

由學(xué)生小組派代表板演完成，教師針對學(xué)生解題步驟不規(guī)范現(xiàn)象，以求邊AB、AC所在直線方程為例加以示范，特別是用（y1-y2）x+ （x2-x1）y+x1y2-x2 y1=0形式求解，讓學(xué)生體會這種形式的簡潔美.如做出如下排列（即行列式）：

代入公式，從而有[0-（-3）]x+[3-（-5）]y+（-5）×（-3）-3×0=0，即邊AB所在直線l方程：3x+8y+15=0.

教師強調(diào)解解析幾何題要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，指出畫圖可以將抽象變直觀，且可以提示解題思路.

對于（2）邊BC及BC邊中線所在直線方程由學(xué)生獨立或討論完成，把學(xué)生的結(jié)果用視頻展臺展出，有問題的地方加以糾正.

例2 已知直線l過點A（1，2），且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程.

此題有難度，可先由學(xué)生小組交流討論，提出解法.如有困難，由教師舉例：已知一元一次函數(shù)圖像上兩點坐標(biāo)，求此函數(shù)的解析式.提示學(xué)生此類題可用待定系數(shù)法求解，進而類比得出求直線方程也可用此方法：設(shè)方程-列方程組-解方程組-得出直線方程并提出變式問題.

方法：求直線方程的方法：直接法：明確條件-代入方程-化簡整理；間接法：待定系數(shù)法.

思想：方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.

當(dāng)堂檢測（教學(xué)效果）：

針對學(xué)生層次分別設(shè)計出必做題（基礎(chǔ)和能力題）和選做題（拓展題）.

課后反思：

1.可取之處：（1）兩點式方程的教學(xué)由具體事例引入，再推廣到一般情形，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程.

（2）變教師講兩點式方程的導(dǎo)出為學(xué)生講，教師再采取追問的方式深入挖掘內(nèi)涵，使學(xué)生透過現(xiàn)象看到本質(zhì).

（3）注重了數(shù)學(xué)美的挖掘，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對稱美和和諧美，引發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣.

（4）注重了數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)思想是靈魂，數(shù)學(xué)方法是解決問題的手段.使方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想貫穿了本節(jié)課的始終.

2.不足之處：（1）學(xué)生的合作學(xué)習(xí)質(zhì)量不高.針對第二個教學(xué)目標(biāo)，即讓學(xué)生學(xué)會一種求直線方程的間接方法——待定系數(shù)法，應(yīng)讓學(xué)生充分交流討論，拿出結(jié)果和同學(xué)一起分享，對的可以借鑒，錯的吸取教訓(xùn)，應(yīng)相信學(xué)生有這個能力，通過合作學(xué)習(xí)可以獲得成功.

（2）本節(jié)課的課堂總結(jié)及方程的適用條件的處理，讓學(xué)生去歸納效果會更好.

3. 創(chuàng)新點

（1）對數(shù)學(xué)美的挖掘，通過對方程形式美的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美.

（2）把分式方程變形為整式方程：（y1-y2）x+ （x2-x1）y+x1y2-x2 y1=0，這應(yīng)是本節(jié)課的一個創(chuàng)新處理.這個處理為學(xué)生將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的行列式做了鋪墊，而且對學(xué)生了解直線方程的一般式中系數(shù)A、B的幾何意義，即（B，-A）為直線的方向向量做了鋪墊.而把兩點坐標(biāo)排成下圖（行列式），再按箭頭方向確定系數(shù)和常數(shù)項的值，為學(xué)生快速地寫出直線方程提供了一個好方法.

（此教學(xué)設(shè)計曾獲教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心“菁華杯”首屆全國教學(xué)設(shè)計大賽一等獎.）