待定系數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張雨嫣

摘要：高中數(shù)學(xué)題目邏輯性較強(qiáng)，在解題過(guò)程中一些常用的方法往往計(jì)算量過(guò)大或難以奏效。因而需要針對(duì)不同的題型選用合適的解題方法，待定系數(shù)法是高中數(shù)學(xué)中一項(xiàng)常用的解題方法。待定系數(shù)法在因式分解、求解函數(shù)解析式及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解等問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，通過(guò)待定系數(shù)法可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。本文結(jié)合具體的例題就待定系數(shù)法的應(yīng)用技巧進(jìn)行了詳細(xì)的論述。

關(guān)鍵詞：待定系數(shù)法；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

待定系數(shù)法師在高中數(shù)學(xué)階段一種常用的解題手段，待定系數(shù)法是將一些具有某種特殊形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入待定的系數(shù)，利用命題恒成立的條件得到一系列的方程組。通過(guò)對(duì)這些方程組的求解得到待定系數(shù)的數(shù)值，從而解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。待定系數(shù)法在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中都有運(yùn)用，例如因式分解、曲線方程、數(shù)列及函數(shù)解析式等。

一、待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用

待定系數(shù)在因式分解中應(yīng)用廣泛，對(duì)一元三次、四次等較為復(fù)雜的多項(xiàng)式，用常規(guī)的因式分解方法往往難以解決，此時(shí)就可以選擇用待定系數(shù)法進(jìn)行求解。對(duì)其它類(lèi)型的多項(xiàng)式，在分解過(guò)程中也可以嘗試用待定系數(shù)法解決。下面結(jié)合實(shí)例對(duì)待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用進(jìn)行討論。

例題1.對(duì)多項(xiàng)式x3+5x2+2x-8進(jìn)行因式分解。

對(duì)例題進(jìn)行分析：該多項(xiàng)式的最高次冪為3次方，該項(xiàng)的系數(shù)為1，因此可以假定該多項(xiàng)式可以分解為（x+A）（x2+Bx+C）的形式。將該式子展開(kāi)可得，（x+A）（x2+Bx+C）--x3+（A+B）x2+（AB+C）x+AC。如果假設(shè)成立，則有：

對(duì)該方程組進(jìn)行求解，得：A=2；B=3；C=-4

二、待定系數(shù)法在函數(shù)解析式

待定系數(shù)法在函數(shù)解析式的求解中也有很多運(yùn)用。在解題過(guò)程中可以先設(shè)出函數(shù)解析式的一般形式，再根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式。對(duì)復(fù)雜函數(shù)解析式的求解這一過(guò)程可以綜合函數(shù)的性質(zhì)，選擇合適的待定系數(shù)。將函數(shù)解析式的求解化成對(duì)方程組的求解。下面結(jié)合例題進(jìn)行求解：

例題2.已知一個(gè)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1，-1）和（3，1）。求該函數(shù)的函數(shù)解析式。

解析：根據(jù)待定系數(shù)法，可以設(shè)函數(shù)的解析式為y=kx+b，根據(jù)題目的已知條件列出方程組。由于函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（2，1），將這兩點(diǎn)帶入函數(shù)解析式有：

對(duì)這個(gè)方程組進(jìn)行求解得：k=1；b=-2

將這兩個(gè)系數(shù)帶人方程，得到函數(shù)的解析式為y=x-2。

三、待定系數(shù)法在數(shù)列中的應(yīng)用

在對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解時(shí)會(huì)遇到一些特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式求解問(wèn)題。尤其是對(duì)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)是線性關(guān)系的類(lèi)型，我們可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造出常見(jiàn)的等比等差數(shù)列，進(jìn)而求出函數(shù)的通項(xiàng)公式。下面結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行分析：

例3.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3，an=3an-1+2，求an的通項(xiàng)公式。

解析：根據(jù)已知關(guān)系式an=3an-1+2可有構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列：an+λ=3（an-1+λ），展開(kāi)此數(shù)列有an=3an-1+2λ。與方程相比較可得λ=1。因此，構(gòu)造新數(shù)列{an+1}為首項(xiàng)是4，公比為3的等比數(shù)列。由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以得到構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)公式為an+1=4·3An-1，因此an的同鄉(xiāng)公式為an=4·3^n-l-1。

四、待定系數(shù)法在解析幾何中的應(yīng)用

待定系數(shù)法在解析幾何中應(yīng)用廣泛，尤其是在橢圓、雙曲線、圓等曲線方程中應(yīng)用較多。例如用待定系數(shù)法對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解時(shí)，要充分考慮“定位”和“定量”兩個(gè)方面。下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析討論：

例4.已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，0）和（0，1），求該橢圓的方程。

解析：根據(jù)已知條件，橢圓中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)位于x軸上，因此可以設(shè)橢圓曲線為：

ax2+by2=1，（0

將已知條件帶入到方程中得：a=0.25，b=1；因此該橢圓的曲線方程為：

0.25x2+y2=1

同理，運(yùn)用待定系數(shù)法也可以應(yīng)用到雙曲線、圓等解析幾何問(wèn)題的求解。

五、待定系數(shù)法在不等式求解中的應(yīng)用

不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一類(lèi)重要問(wèn)題，不等式的求解確定系數(shù)。利用待定系數(shù)法可以將不等式的取值范圍等問(wèn)題進(jìn)行求解，下面將結(jié)合例題對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行解決：

例5.已知二次函數(shù)f（x）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），且有1

解析：根據(jù)已知條件，可以設(shè)該函數(shù)f（x）=ax2+bx+c。

由f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）知c=0；f（-1）=a-b，f（1）=a+b，f（-21=4a-2b

設(shè)f（-2）=mf（-1）+nf（1），經(jīng)過(guò)計(jì)算得到m=3，n=1。因而可以知道6

六、結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)難度較大，抽象性和邏輯性較強(qiáng)，許多同學(xué)感到學(xué)習(xí)吃力。在高中數(shù)學(xué)題目的求解過(guò)程中要注意運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕忸}技巧，對(duì)一些非常規(guī)的題目進(jìn)行求解。待定系數(shù)法就是一種常用的解題方法，該方法是通過(guò)預(yù)設(shè)未知的系數(shù)構(gòu)造方程，根據(jù)已知的條件列出關(guān)于這些待定系數(shù)的方程組，求解出各個(gè)待定系數(shù)。結(jié)合例題，本文就待定系數(shù)法在因式分解、函數(shù)解析式和 函數(shù)解析等五大類(lèi)問(wèn)題中的運(yùn)用進(jìn)行分析，就待定系數(shù)法的應(yīng)用條件和技巧講行和闡述。