高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】本文主要通過以微積分課程為主的系列高等數(shù)學(xué)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容的區(qū)別和聯(lián)系的視角，從高等數(shù)學(xué)中的微積分、線性代數(shù)、高等幾何等知識的角度出發(fā)，以中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的范例為依據(jù)，表明高等數(shù)學(xué)的思想方法在處理中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有關(guān)問題上能發(fā)揮出突出的作用。

【關(guān)鍵詞】微積分 ?高等數(shù)學(xué) ?中學(xué)數(shù)學(xué) ?教學(xué)思想 ?教學(xué)方法

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0091-03

一、引言

自新課改后，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和考試題中皆增加了以分析、幾何等一些高等數(shù)學(xué)（簡稱高數(shù)）知識作為背景的內(nèi)容和問題。因此，作為新形勢下的中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)學(xué)會從高等數(shù)學(xué)的角度高屋建瓴地看待課本知識和內(nèi)容，從而在教學(xué)中起到舉一反三、化繁為簡，達(dá)到更高的目的和高度，使許多較深奧的問題得以深入討論和解決，培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和處理問題的能力，為他們以后持續(xù)進(jìn)修和獲取更高層次的數(shù)學(xué)知識奠定基礎(chǔ)。

有關(guān)該論題的研究不少，文[1]在精選大量試題實(shí)例說明了高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、方法在解決中學(xué)數(shù)學(xué)有著事半功倍的效果;文[9]揭示高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，與此同時對中學(xué)數(shù)學(xué)科任教中師的教學(xué)實(shí)施提出自己獨(dú)特的見解和建議;文[10]從行列式出發(fā)，研究了怎樣將行列式應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué);文[11]主要剖析了極限思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透，等等。

本文在吸取前人研究成果的前提下，將高數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以對兩者之間的解題思路、方式做對比的形式，給中學(xué)數(shù)學(xué)科任教師在講授的同時將高數(shù)滲透到平時的課堂之中提供些有益參考。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系

1.中學(xué)數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)的概念界定

中學(xué)時期學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)幾乎都是17世紀(jì)中葉之前的，其包括表層、深層知識這兩個層面。概念、性質(zhì)、法則、公式、公理和定理等基礎(chǔ)知識和基本技能是中學(xué)數(shù)學(xué)的表層知識的組成部分，而深層知識主要有兩個部分，一個是數(shù)學(xué)思想，另一個是數(shù)學(xué)方法[1]。中學(xué)階段的數(shù)學(xué)都是比較淺顯的，學(xué)生欲接受較為深刻的思想等要求他們得先學(xué)好一定的簡單概念、定義等，才能繼續(xù)進(jìn)行對更深奧內(nèi)容的探索、磚研。

高數(shù)主要由微積分、極限、幾何等構(gòu)造成為一個整體，在這一整體中極限論是最基礎(chǔ)的，它為高數(shù)提供了活動空間;微積分是高等數(shù)學(xué)最重要的構(gòu)成部分，它們能夠用連續(xù)的觀點(diǎn)看待函數(shù)變化趨勢，函數(shù)變化的宏觀規(guī)律性由積分來體現(xiàn)，函數(shù)的有關(guān)局部性則可以通過微分表現(xiàn)出來，積分和微積分連接的橋梁則是牛頓的微積分基本定理[4];級數(shù)理論是研究解析函數(shù)的一個很好的工具，無窮級數(shù)的作用是解析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以離散的側(cè)面為切入點(diǎn)，來對函數(shù)進(jìn)行表現(xiàn)和計算，而廣義積分則提供了把無窮極數(shù)與積分的內(nèi)容連接起來的渠道[5];微分方程則是從方程的角度出發(fā)，使得函數(shù)、積分、微分可以得到有機(jī)的聯(lián)系，內(nèi)在的揭示了它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。所以，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容組成結(jié)構(gòu)大致如下圖所示[6]：

上圖所展現(xiàn)的是高等數(shù)學(xué)各相關(guān)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，它只占高數(shù)體系的一小部分，專業(yè)不一樣，高數(shù)的知識的延伸、拓展也將向著不一樣的趨向發(fā)展，如今數(shù)學(xué)科學(xué)的不斷進(jìn)步，新的數(shù)學(xué)思想、方法連綿不絕地產(chǎn)生、發(fā)展，如與離散數(shù)學(xué)有關(guān)的基礎(chǔ)理論、非標(biāo)準(zhǔn)分析、模型思想等，從而提高了高數(shù)內(nèi)容的吸引力。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系

高等數(shù)學(xué)的原型蘊(yùn)藏在中學(xué)數(shù)學(xué)之中，在中學(xué)數(shù)學(xué)中一些不容易解釋明白或解答的問題運(yùn)用高等數(shù)學(xué)來思考則容易理解并且求出答案[7]。

長期以來，中國學(xué)者對中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容方面作出了很大的調(diào)整，而在高等數(shù)學(xué)中的貢獻(xiàn)卻是幾乎為零。實(shí)際上，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不能夠隨意拆分的有機(jī)整體。中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)這兩者是相互關(guān)聯(lián)的，前者是后者的根本，而后者是前者的延續(xù)和補(bǔ)充，其各個部分相互間的聯(lián)系體現(xiàn)了其生命力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念以及增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的目的。

高數(shù)課程的數(shù)學(xué)思想和方法為一些中學(xué)數(shù)學(xué)中難以解決的問題提供了新的方法和手段，幫助我們從更高的視角看待中學(xué)數(shù)學(xué)、在解決具體問題的同時還時常能幫助我們更加深入地理解這些題目的實(shí)質(zhì)，從中厘清“為何這樣做”和應(yīng)當(dāng)“怎樣做”的問題。

三、高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.高等幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例1（蝴蝶定理）若為圓O的一條弦，M平分.經(jīng)過M點(diǎn)任意引兩條弦AB和CD，連接AD、BC分別交弦于E、F。求證ME=MF.

證明一（弧不單單可以表示度數(shù)，還可以表示長度，所以，在表示圓周角和它所對的弧度數(shù)相等時，要表達(dá)清晰。若是還未給出“度數(shù)”，在等于號上方要寫 ，它表示的是弧的“度數(shù)”;假如句子中有“度數(shù)”字樣，則不必加m 。如“弧BC的度數(shù)”。）

如圖1所示，作軸對稱變換：

圖1

故四點(diǎn)共圓.

從而

因此

所以

證明二如圖2所示，經(jīng)過圓心O作AD與BC的垂線，

垂足為S、T，連接OE，OF，OM，OT，MT，MS.

在例1中如果只是應(yīng)用中學(xué)的幾何知識，如證明一和證明二來解題的話，能夠得到許多不一樣的解法，但是解答過程相對比較繁雜，而將高等幾何的交比概念應(yīng)用到該題的解題中，則證明起來就相當(dāng)簡單了。

類似證明三這種方法，運(yùn)用了高等數(shù)學(xué)中的交比概念，既能夠使結(jié)論得到驗(yàn)證，還將結(jié)論延展到二次曲線的情形。也就是把“蝴蝶定理”里的圓轉(zhuǎn)換成橢圓、雙曲線、拋物線、一對平行線或是一對相交直線，結(jié)論仍然是成立的。

例2設(shè)線段MN為橢圓O上一條弦，E是MN的中點(diǎn)，由E點(diǎn)隨意畫出兩條弦PQ、RS，使得PS、RQ分別和弦MN相交，交點(diǎn)為W、T，證明：EW=ET.

證明如圖4所示。連接PM、PN、RM、RN，則以P為中心的線束被MN所截，有（PM，PQ，PS，PN）=（ME，WN），同理以R為中心的線束被MN所截，有（RM，RQ，QR，RN）=（MT，EN）=（MT，EN），由于弧度或弧長一樣，則其所對之圓周角全部都相等，所以，，

所以有

即

又E為MN的中點(diǎn)，所以

高等幾何在課本中所編排的知識和中學(xué)教材上的相應(yīng)知識并非完全相同。在中學(xué)的數(shù)學(xué)課本里面，有關(guān)幾何部分的編排幾乎只是實(shí)例再展現(xiàn)概念和定理。然而在高等數(shù)學(xué)里卻不僅給出了定義、定理，而且再加以解釋、證明。此外對學(xué)生起到的訓(xùn)練是不同的，高等幾何使學(xué)生抽象思維得到鍛煉，而中學(xué)數(shù)學(xué)更多的是鍛煉學(xué)生的形象思維，角度不一樣，但對于同一個問題所得到的結(jié)果卻一樣。

2.矩陣在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例3 解出下面所給出的方程組

解法一：

第1方程乘以 ，加到第3方程即可得消去和，得到

將代入另外后兩個方程得和再用消元法即可求出. 則原方程組的解為

解法二：利用矩陣的表述方法和初等變換的工具，即可得到

對于方程組的概念，初中教材就有解題的方法介紹，消元法、代入法等都是中學(xué)數(shù)學(xué)用以解方程組的常用方法。而矩陣是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，利用矩陣的性質(zhì)可以簡便地化解方程組，并且能夠?qū)⑺蠓匠探M解的情況清楚地展示，一目了然。

3.極限思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

微積分課程里面絕大部分的數(shù)學(xué)概念比如導(dǎo)數(shù)、積分等皆由極限進(jìn)行定義，所以，極限內(nèi)容它是微積分的基本概念之一。目前我國人教版中學(xué)課本里有關(guān)極限的嚴(yán)格定義并未做出明示，但大量教材內(nèi)容或者習(xí)題解答皆普遍應(yīng)用了極限思想方法。

新課程改革后的高中數(shù)學(xué)教材選修2-1第2.3.2節(jié)關(guān)于雙曲線的幾何性質(zhì)內(nèi)容中，則以探究的表現(xiàn)形式給出：由學(xué)生自己動手用教學(xué)軟件繪出雙曲線，給落在第一象限里面的部分當(dāng)中標(biāo)出點(diǎn)M，標(biāo)示出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)Xm并標(biāo)出其距直線的長度，隨著Xm的距離（無限）增大而無限接近，但永遠(yuǎn)也不會相交。按教材中的方法，能夠知道雙曲線在另外三個象限和直線接近的情形。如此雙曲線的圖像就越發(fā)規(guī)范，準(zhǔn)確，并且快速，解決問題亦更加方便，與此同時還讓我們通過有限的圖形了解到無限的思想[1]。

例4求出雙曲線 的漸近線方程.

解法一：雙曲線方程可化為：

漸近線的斜率

在y軸上的截距

故所求的漸近線方程為：

解法二：雙曲線的漸近線方程為

由題目知所以該雙曲線的漸近線方程為

由該例題中解法一直接運(yùn)用雙曲線的漸近線方程可以快速、簡便地得到答案;而解法二則是從極限的角度出發(fā)對問題進(jìn)行解決，這一方法將漸近線的延伸趨勢形象地描述出來。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容里面相當(dāng)關(guān)鍵的一部分內(nèi)容，而該部分內(nèi)容大部分存在漸近線，新課改后中考和高考當(dāng)中皆將函數(shù)做為重點(diǎn)評測的知識點(diǎn)，函數(shù)題型比較新穎、解法靈活多變，要是能快速地捕捉到函數(shù)的圖象變化，再利用數(shù)形結(jié)合的方法就能又快又準(zhǔn)地解答函數(shù)題。在教學(xué)過程中，運(yùn)用極限的思想方法能夠?qū)⒑瘮?shù)漸近線的變化趨勢描述出來，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生體驗(yàn)漸近線的產(chǎn)生和發(fā)展過程，幫助他們理解和掌握漸近線方程的原理。

4.微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

微分中值定理開始成為微分學(xué)非常重要的一部分是從柯西開始的，并且其在柯西的微積分理論體系中扮演著不可或缺的角色，發(fā)揮著至關(guān)關(guān)鍵的效能。比方說用中值定理給出了洛必達(dá)法則的嚴(yán)格證明，并且泰勒公式的余項(xiàng)也是通過微分中值定理給出的，它也成為研究函數(shù)性態(tài)的重要[3]。

微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的運(yùn)用十分廣泛，許多中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著舉足輕重的作用，文中僅選取了柯西中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行論證?？梢钥吹嚼?證明一和證明二的解法表現(xiàn)了一特殊與一般的情況，證明方法一在高中數(shù)學(xué)解題中常用的方法，需要對未知量進(jìn)行分類討論，過程繁瑣，容易錯漏;而方法二只需判斷題干條件是否符合柯西中值定理，若是則直接利用中值定理進(jìn)行求解。

四、總結(jié)與展望

本文列舉了運(yùn)用高等幾何中交比、線性代數(shù)的矩陣、微積分的極限思想、微分中值定理等多種高數(shù)知識在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。進(jìn)而得知從高等數(shù)學(xué)的知識出發(fā)，處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的某些疑難問題往往會更加周全、更加深刻。高數(shù)的應(yīng)用能夠有效地鍛煉學(xué)生分析和處理問題的技能，開發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識。所以中學(xué)數(shù)學(xué)科任老師在講授知識的同時，如果能應(yīng)當(dāng)找出教材內(nèi)容與高數(shù)的衍接點(diǎn)，這樣就能夠比較好地引導(dǎo)、幫助學(xué)生分析、處理他們所遇到的一些比較深奧的問題，增強(qiáng)他們對數(shù)學(xué)的好奇心以及掌握好更深層次數(shù)學(xué)知識的信心。高等數(shù)學(xué)給中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和解題提供了更寬闊的思路和幫助，給人以開發(fā)和啟迪。

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基金項(xiàng)目：廣西研究生教育創(chuàng)新計劃資助項(xiàng)目（JGY2014092）; 2016年度廣西高等教育本科教學(xué)改革工程立項(xiàng)項(xiàng)目;2016年度廣西壯族自治區(qū)中青年教師基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：KY2016LX584）。

作者簡介：韋玉球（1981-），女，廣西都安人，研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育.