淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練

宋小萍

在《義務(wù)教育階段課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出：使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的目標(biāo)，把“雙基”擴(kuò)展為“四基”。希望學(xué)生在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)能之外，還能感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，要在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)各種教學(xué)途徑，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)造的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和自信心，不斷提高自主學(xué)習(xí)的能力。而強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施變式訓(xùn)練，可以促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中去尋找解類似問(wèn)題的思路、方法，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)地參與教學(xué)的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。

一、變式訓(xùn)練“為什么要變”

所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，就是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式，以及問(wèn)題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景暴露問(wèn)題的本質(zhì)，揭示不同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法。通過(guò)“變式訓(xùn)練”，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲和創(chuàng)造力，增加學(xué)生參與度，提高學(xué)生參與活動(dòng)的興趣和熱情，從而產(chǎn)生意外生成、揭示知識(shí)的本質(zhì)。通過(guò)變式訓(xùn)練，不僅使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)基本技能，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以提高學(xué)生的能力。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中變式訓(xùn)練“變什么”

1、變問(wèn)題：一題多問(wèn)，深化問(wèn)題。教學(xué)中要特別重視對(duì)課本例題和習(xí)題的“改裝”或引申。數(shù)學(xué)的思想方法都隱藏在課本例題或習(xí)題中，我們?cè)诮虒W(xué)中要善于對(duì)這類習(xí)題進(jìn)行必要的挖掘，即通過(guò)一個(gè)典型的例題，最大可能的覆蓋知識(shí)點(diǎn)，把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線，往往會(huì)起到意想不到的效果，有利于知識(shí)的建構(gòu)。

【案例1】

在？ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3cm，求（1）S？ABC。（2）AB上的高。

上題通過(guò)連接AD分割成兩個(gè)以腰為底的三角形即可求解S？ABC=40cm2；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結(jié)論，不難求的AB上的高為8cm。我在教學(xué)中并未把求得結(jié)論作為終極目標(biāo)，而是繼續(xù)問(wèn)：3+5=8，在此題中是否是一個(gè)巧合？探究DE、DF、CH之間的內(nèi)在聯(lián)系，（學(xué)生猜想CH=DE+DF）。

引出變式題（1）如圖2，在？ABC中，∠B=C，點(diǎn)D是邊BC上的任一點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，垂足分別是E、F、H。求證：CH=DE+DF。

在計(jì)算例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯(lián)系起來(lái)的意識(shí)，此題的證明很容易解決。

在學(xué)生思維的積極性充分調(diào)動(dòng)起來(lái)的此時(shí)，我又借機(jī)給出變式（2）如圖3，在等邊？ABC中，P是形內(nèi)任意一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。

求證：PD+PE+PF是一個(gè)定值。

通過(guò)這組變式訓(xùn)練，面積法在幾何計(jì)算和證明中的應(yīng)用得到了很好的體現(xiàn)，同時(shí)這一組變式訓(xùn)練經(jīng)歷了一個(gè)特殊到一般的過(guò)程，有助于深化、鞏固知識(shí)，學(xué)生猜想、歸納能力也有了進(jìn)一步提高，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和探究意識(shí)。

2、變解法：一題多解，觸類旁通。通過(guò)一題多解，讓學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，可以引起學(xué)生強(qiáng)烈的求異欲望，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

【案例2】如何復(fù)原一個(gè)被墨跡浸漬的等腰三角形？

（只剩一個(gè)底角和一條底邊）

學(xué)生給出的三種“補(bǔ)出”方法：

（1）量出∠C度數(shù)，畫出∠B=∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點(diǎn)A；

（2）作BC邊上的中垂線，與∠C的一邊相交得到頂點(diǎn)A；

（3）“對(duì)折”。

看畫出的三角形是否為等腰三角形，由此引發(fā)全等三角形判定定理的證明。

這道題從不同的角度進(jìn)行多向思維，把三角形全等的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，發(fā)展了學(xué)生的多向思維能力。

3、變條件和變問(wèn)題：一題多變，橫向聯(lián)想。通過(guò)一題多變，可避免題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，享受數(shù)學(xué)的相似美，提高學(xué)生歸納概括的能力。

【案例3】有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm。

要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)

分別在AB、AC上。問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm？

變式1：將“正方形PQMN”改為“矩形PQMN”。問(wèn)矩形的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)，所截得的矩形面積最大？最大面積是多少？

變式2：一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案所示，乙設(shè)計(jì)方案如圖所示。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說(shuō)明理由。（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中變式訓(xùn)練“變到什么程度”

1、變式的數(shù)量要“適度”。變式不是為了“變式”而變式，而是要根據(jù)教學(xué)或?qū)W習(xí)需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式，使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)之上，把學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，形成技能技巧。因此，數(shù)學(xué)變式要正確把握變式的度，適度進(jìn)行，適可而止。

2、變式的內(nèi)容與難度要有“梯度”。變式習(xí)題的設(shè)置不僅要考慮到適當(dāng)?shù)牧康陌才?，更要注重?xùn)練的梯度性，具有科學(xué)的循序漸進(jìn)的訓(xùn)練程序，才能更有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

【案例4】由4個(gè)等腰直角三角形組成，其中第1個(gè)直角三角形的腰長(zhǎng)為1cm，求第4個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度。

變式1：已知條件不變，求第5個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，并探究第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為多少？

變式2：已知條件不變，求第6個(gè)等腰直角三角形直角邊的長(zhǎng)，并探究第n個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為多少？

3、變式教學(xué)要提高學(xué)生的“參與度”。設(shè)計(jì)問(wèn)題變式要注重一個(gè)“變”，不能簡(jiǎn)單的重復(fù)。變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學(xué)生對(duì)每道題既感到熟悉，又覺得新鮮，讓每一個(gè)學(xué)生都能夠參與到數(shù)學(xué)思考中來(lái)。

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)加強(qiáng)變式訓(xùn)練，對(duì)鞏固基礎(chǔ)、培養(yǎng)思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生敢于思考，敢于聯(lián)想，敢于懷疑的品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力與創(chuàng)新精神。當(dāng)然，課堂教學(xué)中的變式題最好以教材為源，以學(xué)生為本，體現(xiàn)出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學(xué)中滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)中去。讓學(xué)生也學(xué)會(huì)“變題”，使學(xué)生自己去探索、分析、綜合，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。