初中“幾何變換”的內(nèi)容與考法的剖析

周春意

摘要：隨著教育教學(xué)改革的深入發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想也隨之不斷滲透，幾何變換以運動變換的觀點研究幾何問題，體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的知識融合，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決，逐漸成為中考考查熱點、重點。它的數(shù)學(xué)思想已越來越引起人們的重視和關(guān)注。明確“幾何變換”的內(nèi)容本質(zhì)特點及中考測試點，有利于提高教學(xué)與復(fù)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；“幾何變換”；內(nèi)容與考法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）07-0093

隨著教育教學(xué)改革的深入發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想也隨之不斷滲透，幾何變換以運動變換的觀點研究幾何問題，體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的知識融合，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決，逐漸成為中考考查熱點、重點，它的數(shù)學(xué)思想已越來越引起人們的重視和關(guān)注。明確“幾何變換”的內(nèi)容本質(zhì)特點及中考測試點，有利于提高教學(xué)與復(fù)習(xí)效率。

一、內(nèi)容剖析

1. 知識結(jié)構(gòu)

2. 知識要點

全等變換問題（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）全等變換：是指不改變圖形形狀與大小的變換。

首先要理解運用這種變換的一些基本情況：

（1）按指令語言，按規(guī)定的變換移動圖形；

（2）按指令語言拼接圖形；

（3）根據(jù)題目的需要設(shè)計變換（需要理解變換的條件與相應(yīng)的方式與方法；需要解讀好題目的直接或隱含的條件）。

相似變換問題。位似變換：是指不改變圖形形狀只改變圖形大小的變換。

由于相似的知識不是建立在以平行線為依據(jù)的前提下，所以我們對圖形的認(rèn)識是建立在位似變換的基礎(chǔ)之上的，即從位似化為相似，也就是說需要先從相似的角度認(rèn)識問題.從新課標(biāo)的角度講相似問題的知識只是要求為基本認(rèn)識，純推理的問題相對困難，所以我們對這部分知識的定位是以數(shù)量計算為主要對象的。

等積變換問題。等積變換：是指不改變圖形大小只改變圖形形狀的變換。

這是新課標(biāo)在重視幾何變換的前提下與實際問題相結(jié)合而形成的問題，它主要體現(xiàn)在以下問題中：①圖形在不改變大小的情況下的移動；②圖形的分割與組合；③圖形的拼接。

3. 主要思想方法

軸對稱你變換：軸對稱是平面到自身的變換，若存在一條定直線l，使對于平面上的每一點P及其對應(yīng)點P′，其連線PP′都被定直線l垂直平分，則稱這種變換為軸對稱變換，定直線l稱為對稱軸。軸對稱變換有如下性質(zhì)：（1）把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形；（2）關(guān)于l對稱的兩點連線被l垂直平分。

證題過程中使用翻折變換，可保留原有圖形的性質(zhì)，且使原來分散條件相對集中，以利于問題的解決。

平移變換：平移變換是平面到自身的變換，將平面上任一點P變換到P′，使得：（1）射線PP′有給定的方向；（2）線段PP′有給定的長度，則稱這種變換為平移變換。在平移變換下，圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，直線變?yōu)榕c之平行的直線。

在解幾何問題時，常利用平移變換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡單的基本圖形。

下面是一些常用到的平移變換的特殊情形：（1）與定長、定向的線段有關(guān)的問題，常作平移；（2）與梯形、正方形有關(guān)的問題，?？衫锰菪?、正方形的特性作平移。

旋轉(zhuǎn)變換：旋轉(zhuǎn)變換是平面到它自身的變換，使原點O變換到它自身，其他任何點X變到X′，使得：（1）OX′=OX；（2）∠XOX′=θ（定角），則稱這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換，O稱為旋轉(zhuǎn)中心 。旋轉(zhuǎn)變換保持圖形全等，但圖形方位可能有變化。在幾何解題中，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但改變其位置，使能組合成新的有利論證的圖形。

在運用旋轉(zhuǎn)變換解幾何題時，注意下面一些特殊情形：

（1）與等腰三角形有關(guān)的問題，常取頂角的頂點為旋轉(zhuǎn)中心，作旋轉(zhuǎn)變換；

（2）與正三角形（或正方形）有關(guān)的問題，常可利用正三角形（或正方形）的特性作旋轉(zhuǎn)變換；

（3）與圓有關(guān)的問題，常取圓心為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)變換。

當(dāng)圖形中存在（或適當(dāng)添加輔助線之后存在）等線段、特別角、全等形、正多邊形等情況時，常?？梢栽囂阶饕粋€有用的旋轉(zhuǎn)變換，使得這個變換帶來新的全等形、相等的線段、相等的角等，從而將巳知條件相對集中，以利于問題的解決。

位似變換：位似變換是兩個圖形不但相似，且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這就是位似圖形。（初中數(shù)學(xué)中考中暫不命題）

等積變換：等積變換是指在解某些幾何問題時，通過幾何圖形的面積相等，相互間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而使問題得到解決。

4. 重點與難點

幾何變換的重點：了解圖形軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換的概念；會按要求作出簡單平面圖形經(jīng)軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換后所得的像；理解軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：均不改變原圖形的形狀和大??；了解圖形相似變換的性質(zhì)；通過對圖形變換的欣賞和探索，使學(xué)生體會圖形變換在現(xiàn)實生活的存在，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)審美觀念，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神。

幾何變換的難點：平移變換得根據(jù)所提供的平移方向和移動的距離兩個條件作圖；旋轉(zhuǎn)變換得根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)的方向和角度三個條件作圖，“以局部帶整體”的作圖思想方法，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念；能利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等方法繪制精美的圖案。

二、考法剖析

幾何變換以運動變換的觀點研究幾何問題，體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的知識融合，逐漸成為中考考查熱點、重點，提高了學(xué)生運用幾何變換的思想分析、解決問題的能力，它的數(shù)學(xué)思想已越來越引起人們的重視和關(guān)注。

1. 概念性問題——考查學(xué)生的基本概念

例1. （2015北京市中考題） 剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（ ）

例2. （2015年哈爾濱市中考題）如圖，在RtABC中，BAC=90°，將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到AB′C′（點B的對應(yīng)點是點B′，點C的對應(yīng)點是點C′），連接C。若CC′B′=32°，則B的大小是（ ）

A . 32° B. 64° C. 77° D. 87°

2. 開放性問題——考查學(xué)生的創(chuàng)造能力

例3. 已知每個網(wǎng)格中小正方形的邊長都是1，圖1中的陰影圖案是由三段以格點為圓心，半徑分別為1和2的圓弧圍成。

（1）填空：圖1中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留π）；

（2）請你在圖2中以圖1為基本圖案，借助軸對稱、平移或旋轉(zhuǎn)設(shè)計一個完整的花邊圖案（要求至少含有兩種圖形變換）。

這類開放題不同于在固定條件下研究固定結(jié)論，學(xué)生可以從日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中多角度、多層次、多側(cè)面地思考問題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主體精神，考查學(xué)生的個體很有益處。

3. 應(yīng)用性問題——考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力

例4. （2015年葫蘆島中考題）如圖，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再連接AC1，以對角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形ABnCnCn-1的面積為 。

例5. （2015年慶陽市中考題）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，如此作下去，則△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點A2n+1的坐標(biāo)是（ ）

4. 探究性問題——考查學(xué)生的分析能力

例6. （2015年岳陽市中考題）已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點。

（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當(dāng)點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系： 。

（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k。求證：PA·PB=k·AB。

這類題型主要通過學(xué)生的觀察、分析、探究、猜測、推理、驗證等一系列探究活動，從不同的角度和層次來分析和解決問題，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)下要求教師形成開放性、創(chuàng)新性的教學(xué)方式，體現(xiàn)了主體性、反思性和合作性等教學(xué)思想，要求學(xué)生學(xué)會“問題——探究——發(fā)現(xiàn)——推廣”。因此，此題注重研究探究性問題，做到合情推理和演繹推理相結(jié)合，較好地考查學(xué)生的分析能力。