規(guī)則，有時(shí)就是一種約定

高敏

[教學(xué)探索]蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)《除法豎式計(jì)算》

[課前研讀]

二年級(jí)下冊(cè)的“除法豎式計(jì)算”是學(xué)生第一次接觸表內(nèi)除法的豎式計(jì)算，學(xué)生完全可以通過口算算出算式的結(jié)果，但是如何把計(jì)算過程通過除法豎式的形式呈現(xiàn)，學(xué)生沒有經(jīng)驗(yàn)。較多的學(xué)生認(rèn)為除法豎式的書寫和加減法豎式類似，長的樣子應(yīng)該是差不多的。由此可見本節(jié)課對(duì)學(xué)生而言，除法豎式書寫意義的理解和認(rèn)同是最關(guān)鍵的。

[教學(xué)過程]

一、除法豎式就該這樣寫

呈現(xiàn)情境圖一：媽媽買了12個(gè)蘋果，每4個(gè)放一盒，可以放幾盒？

學(xué)生列出除法算式12+4=3（盒）

師：我們已經(jīng)學(xué)過加法、減法的豎式計(jì)算，那除法算式能不能也用豎式表示呢？試試看。

師：大伙兒怎么想的？

生：我想加法、減法的豎式就是這樣寫的，那除法的豎式就該也這樣寫。

（大多數(shù)學(xué)生點(diǎn)頭表示同意）

思考：存在即合理，學(xué)生因?yàn)橛辛思臃?、減法豎式方法的耳濡目染，那么除法豎式是不是就應(yīng)該如上面那個(gè)式子呢？顯然學(xué)生的想法是一種合情推理。而當(dāng)兩個(gè)數(shù)整除時(shí)，這樣的除法“豎式”表達(dá)形式又何嘗不可，所以無須宣判方法的對(duì)錯(cuò)，隨著學(xué)習(xí)的深入，這樣的書寫恰恰也為后面引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)除法豎式和加減豎式的不同提供了重要契機(jī)。

二、這樣寫不清楚了

呈現(xiàn)情境圖二：媽媽買了12個(gè)蘋果。每5個(gè)放一盤，可以放幾盤，還剩幾個(gè)？

師：要解決這一問題，你是怎么想的？

生l：5個(gè)5個(gè)地去分，算式是12+5=2（盒）……2（個(gè)）

生2：我想12里面有2個(gè)5，就可以放2盤，這樣的話分掉了10個(gè)，那就還剩下2個(gè)。

生3：我也認(rèn)為先想12里面有幾個(gè)5，2就是商，再想分掉了10個(gè)，那余下就是2個(gè)了。

（圖片出示學(xué)生的思維過程）

生l：老師，我發(fā)現(xiàn)這條豎式不能表示余數(shù)??！

生2：是呀，這個(gè)2是分掉了2盤，還是余下的2個(gè)蘋果，不清楚。

思考：教學(xué)，要讓學(xué)生從心底自覺悅納、接受新的思想方法。此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)底層的2不能精確地表示運(yùn)算結(jié)果，這樣疊加式的豎式書寫格式就顯出其局限性了。于是，一種適合除法本身特點(diǎn)的豎式計(jì)算形式成了孩子自發(fā)的真實(shí)的探究需要。

三、規(guī)定是有道理的

師：那怎樣書寫除法豎式就能清楚地表示出運(yùn)算結(jié)果，讓我們能看明白、看清楚呢？自學(xué)書本第4頁。

交流：看了以后，有什么想說的、想問的？

生1：這樣寫感覺有點(diǎn)復(fù)雜。

生2：干嗎要有兩個(gè)127

生3：我想這個(gè)符號(hào)）

就相當(dāng)于除號(hào)吧！

生4：我知道了2個(gè)“2”分別表示的意思了。生1：我來講講為什么會(huì)有兩個(gè)12，上面的12表示一共有12個(gè)蘋果，下面的12表示分掉了12個(gè)蘋果。

生2：我能講得更清楚些，第一個(gè)12是媽媽一共買了12個(gè)蘋果，然后4個(gè)一盤，正好放了3盤。下面這個(gè)12實(shí)際上就是4×3的積，表示這12個(gè)蘋果都分掉了，所以最后還剩下0個(gè)蘋果。

生3：我聽明白了她們的想法，我想講講右邊這道豎式。12表示的意思實(shí)際上是一樣的，也是指一共有12個(gè)蘋果。上面的2，表示5個(gè)一盤，能分到2盤，下面的2就表示剩下2個(gè)。

生4：我覺得這樣寫豎式，我們就能看得很明白，把分的過程都能表示出來了。

生5：我也覺得這樣寫好，因?yàn)槿绻裎覀円婚_始這樣寫，最底層的數(shù)有些時(shí)候能表示最后的結(jié)果，有些時(shí)候卻不能。

生6：現(xiàn)在我知道為什么除法豎式不像加法、減法豎式一樣，它這樣寫是有道理的。

思考：教育是慢的藝術(shù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)像呼吸一樣自然，顯然經(jīng)過上面的過程，除法的豎式在孩子眼里不再是機(jī)械的、生硬的，而是自然的、靈動(dòng)的，從而產(chǎn)生對(duì)除法豎式的認(rèn)同感。

[課后研思]

回顧歷史，你能感受關(guān)于計(jì)算的原理性知識(shí)（比如位值原則、運(yùn)算定律、數(shù)的分解與組成、計(jì)算的本質(zhì)意義等），幾千年前就已經(jīng)明確，而至于計(jì)算的規(guī)則性知識(shí)（比如計(jì)算的步驟、豎式的書寫等），變來變?nèi)?，毫無定論，現(xiàn)在的樣式不過三百多年歷史。歷史把整數(shù)的四則運(yùn)算最終演變成現(xiàn)行的樣式，每個(gè)細(xì)節(jié)的安排都是智慧的抉擇。為了避免進(jìn)位而改動(dòng)先前計(jì)算結(jié)果的麻煩，歷史選擇了加法、減法、乘法從低位算起；為了盡量快地從被除數(shù)中減完除數(shù)，歷史選擇了首先設(shè)法減去除數(shù)的整百、整十倍，也就是從高位算起。除法豎式，可以像乘法那樣寫，可以寫成一層，但除了之后若有余數(shù)繼續(xù)再除的話，現(xiàn)在的樣子才是最合適的。四則運(yùn)算的豎式最終寫成現(xiàn)在的樣子，全因?yàn)檫@樣寫更為簡潔和合適。由此，我們可以得到的數(shù)學(xué)教育啟示是：數(shù)學(xué)不僅僅是解決問題的工具，也是重要的表達(dá)交流的語言形式。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去推理去解決問題是種智慧，用貼切的方法和形式把想法簡明而又清楚地表達(dá)出來，同樣也是一種智慧。所以，教學(xué)中一定要給予學(xué)生表達(dá)交流的機(jī)會(huì)，不然，學(xué)生學(xué)的便是“啞巴數(shù)學(xué)”，只會(huì)解題，不會(huì)表達(dá)交流。

可以想象，歷史上乘除計(jì)算的各種豎式都是那個(gè)時(shí)代較為典型和有用的辦法，不然的話，也不會(huì)記錄在史書中被傳承下來。計(jì)算過程記錄與表達(dá)的簡潔是個(gè)歷史性概念，不同的時(shí)期有不同的理解與不同的約定。19世紀(jì)，最早在奧地利使用了這樣的除法計(jì)算辦法，即每次商后把乘、減的過程壓縮成了只寫減得的差。以計(jì)算“272862÷978”為例，如商“2”和“978”的乘積被“2728”減，只寫出了所得的差“772”；商“7”和“978”的積被“7726"減，只寫出了所得的差“880”；商“9”和“978”的乘積被“8802”減，其差為0，不再寫出了。（如下式）

978）272862（279

7726

8802

無疑，這種辦法更為簡潔，但卻沒有成為歷史的最終選擇。比起來，無疑，現(xiàn)在的筆算術(shù)是計(jì)算道理和書寫表達(dá)結(jié)合得比較合適的。簡，簡到什么程度，大家協(xié)商覺得合適就是了。

數(shù)學(xué)，是人類的一種創(chuàng)造，因此，有些知識(shí)就是各種辦法間的協(xié)商與約定。

對(duì)數(shù)學(xué)來說，越是機(jī)械的，才越是好的方法；對(duì)兒童來說，越是他們自己的方法，才越是有潛能的方法。這兩者間，很多時(shí)候是不一致的。在一般意義上，我們要優(yōu)先讓兒童自己去琢磨他們個(gè)性化的方法，去引出他們的巧妙方法，接著比較概括各種巧妙方法的共同點(diǎn)，引導(dǎo)他們向著數(shù)學(xué)的通用方法去。這一路，越急越體現(xiàn)不出數(shù)學(xué)的高明和智慧，越急越享受不了兒童自己思考的快樂。讓兒童們個(gè)性化的方法多用一會(huì)，甚至允許個(gè)別學(xué)生用他們的辦法去進(jìn)行計(jì)算，這些辦法雖然和現(xiàn)行規(guī)范算法相比是煩瑣的，但也許對(duì)他們看來正合適，這正是教育可貴的兒童視角的體現(xiàn)。