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    淺談運用導數(shù)解決一類特殊不等式的策略

    2016-12-19 21:32:00孫建山
    文理導航 2016年32期
    關鍵詞:高考

    孫建山

    【摘 要】本文主要介紹導數(shù)中不等式解決的常見幾種方法,并詳細闡述它們在求解高考壓軸題中的重要應用。

    【關鍵詞】超越不等式;高考;構造新函數(shù)

    縱覽近些年來的高考數(shù)學試卷,無論是全國卷,還是各省市自主命題,絕大多數(shù)省份試卷都是以函數(shù)及導數(shù)應用綜合題做為壓軸題,而導數(shù)及其相關知識作為連接初等數(shù)學和高等數(shù)學的紐帶,對相當一部分學生來說,接受起來有一定困難,因此要熟練解決這類問題,要求考生必須牢固掌握相關的基礎知識、基本方法和基本技能,證明不等式經常會出現(xiàn)在導數(shù)的最后一問,這里筆者和讀者交流一些常見方法。

    方法一:直接構造函數(shù)

    例1:求不等式x-1-(e-1)lnx>0的解集,其中e為自然對數(shù)的底。

    解:令f(x)=x-1-(e-1)lnx,f′(x)=■,令f′(x)>0解得x>e-1,令f′(x)<0解得x0,所以原不等式的解集為(0,1)∪(e,+∞)。

    方法二:先變形,再構造函數(shù)

    例2:已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-x+1。

    (1)若xf?蒺(x)≤x2+ax+1,求a的取值范圍;

    (2)證明:(x-1)f(x)≥0。

    解:(1)略(2)當x=1時,結論成立;原命題等價于當x∈(0,1)時,f(x)≤0即lnx-■≤0;當x∈(1,+∞)時,f(x)≥0即lnx-■≥0。

    令h(x)=lnx-■,h′(x)=■-■=■>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上單調遞增,而h(1)=0,所以當x∈(0,1)時,lnx-■<0即f(x)<0,

    當x∈(1,+∞)時,lnx-■>0即f(x)>0。從而命題得證。

    方法三:利用f(x)min>g(x)max(f(x)max

    例3:設函數(shù)f(x)=aexlnx+■,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2。

    (1)求a,b;(2)證明:f(x)>1。

    解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f?蒺(x)=aexlnx+■ex-■ex-1+■ex-1

    由題意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2。

    (2)由(1)知,f(x)=exlnx+■,從而f(x)>1等價于xlnx>xe-x-■

    設函數(shù)g(x)=xlnx,則g′(x)=x+lnx,所以當x∈(0,■)時,g′(x)<0,當x∈(■,+∞)時,g′(x)>0,故g(x)在(0,■)單調遞減,在(■,+∞)單調遞增,從而g(x)在(0,+∞)的最小值為g(■)=-■。

    設函數(shù)h(x)=xe-x-■,則h′(x)=e-x(1-x),所以當x∈(0,1)時,h′(x)>0,當x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)單調遞增,在(1,+∞)單調遞減,從而h(x)在(0,+∞)的最大值為h(1)=-■而它們等號不在同一處取到。

    綜上:當x>0時,g(x)>h(x),即f(x)>1。此方法不具有一般性,在一般情況下我們優(yōu)先選擇方法一或方法二。

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