含參不等式恒成立問題的幾種解答策略

河北省秦皇島市第一中學(xué)　張　瑞

含參不等式恒成立問題的幾種解答策略

河北省秦皇島市第一中學(xué)張瑞

含參不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的常見問題.學(xué)生要想學(xué)好這一類型的題，就要注意對基礎(chǔ)知識的總結(jié)，掌握這類題型的解題技巧.

含參不等式恒成立問題二次函數(shù)判別式函數(shù)的最值分離參數(shù)法函數(shù)的圖像函數(shù)的單調(diào)性

含參數(shù)的不等式“恒成立”問題是高中數(shù)學(xué)中常見問題之一，也是各級各類考試中常見的題型之一.解決這類問題常常用到函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，不等式，方程，函數(shù)最值的求法等知識，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：即一般的，若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f（x）≥M恒成立恒成立因而，含參數(shù)不等式的恒成立問題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論.應(yīng)當(dāng)掌握以下幾種常見技巧.

一、運(yùn)用二次函數(shù)判別式

不等式ax2+bx+c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立的充要條件是；不等式ax2+bx+c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立的充要條件是

例1若8x4+8（a-2）x2-a+5>0對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：令t=x2，則f（t）=8t2+8（a-2）t恒成立.

點(diǎn)評：應(yīng)用判別式法研究恒成立問題，一般都是一元二次不等式的形式，特點(diǎn)非常鮮明，即形式上是一元二次不等式，定義域必須是R.

二、運(yùn)用函數(shù)的最值

若函數(shù)f(x)有最大值，則f(x)≤a恒成立的充要條件是；若f(x)有最小值，則f(x)≥a恒成立的充要條件是

解析：由題意有：

由①對任意實(shí)數(shù)x都成立，∴m-4≤-1；由②對任意實(shí)數(shù)x都成立，

∴1+2x+3x-a4x>0恒成立，可化為a<

則易知當(dāng)x=1時(shí)，

點(diǎn)評：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來研究恒成立問題，可使原本復(fù)雜的問題變得易于解決.

三、分離參數(shù)法

通過分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為a≥f(x)（或a≤f(x)）恒成立，再運(yùn)用不等式知識或求函數(shù)最值的方法，使問題獲解.

解析：∵f(x)為奇函數(shù)，

∴原不等式等價(jià)于：f(m·3x)

又f(x)在R上為增函數(shù)，

點(diǎn)評：本題中若無分離參數(shù)的求解意識，則必轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，不可避免地要進(jìn)行分類討論，通過代數(shù)變形后均可轉(zhuǎn)化為形如f（x)型的函數(shù)的最值問題，其最值的求解通常用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來完成.

四、利用函數(shù)的圖像

點(diǎn)評：用數(shù)形結(jié)合解不等式的理論依據(jù)是：大于反映到圖像上就是在上方，小于反映到圖像上就是在下方，從而在研究不等式關(guān)系時(shí)，可以通過函數(shù)的圖像來解決．

五、利用函數(shù)的單調(diào)性

利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式中參數(shù)的取值范圍，常常會收到意想不到的效果.

除了以上幾種常見的方法以外，解決恒成立問題的方法還有很多種，希望同學(xué)們注意對基礎(chǔ)知識的總結(jié)，從中可以提煉出很多巧妙的解題辦法.數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識.在解決含參數(shù)不等式的恒成立的數(shù)學(xué)問題中要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，更要重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.