由一道高考題探究出圓錐曲線的定值問題

山東省聊城大學數學科學學院 (252000)

孫海玲* 于興江

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由一道高考題探究出圓錐曲線的定值問題

山東省聊城大學數學科學學院 (252000)

孫海玲*于興江

圓錐曲線是高中幾何中的一大難點，而圓錐曲線的證明題更是不少學生“心中的痛”.學生要突破圓錐曲線的難關，必須扎扎實實學好圓錐曲線的基本性質和知識.本文以2016年四川卷理科第20題為例，考察的是有條件限制下橢圓的定值問題，是一道具有潛在價值的好題.筆者以此為基礎，探究出圓錐曲線上一類定值問題.

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;

(2)設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A,B，且與直線l交于點P.證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖1

探究推廣 波利亞說：“中學數學教學的首要任務是加強訓練.”在這過程中，教師要對選擇的每個數學問題做全面的解題研究，使每道高考題都能體現它思維訓練價值，使學生能舉一反三、融會貫通.對該題，我們可以進行一些探究.

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;

(2)設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A,B，且與直線l交于點P.證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖2

探究2 已知拋物線C：y2=2px，直線l：y=kx+b與拋物線C有且只有一個公共點T.

(1)求拋物線C的方程及點T的坐標;

(2)設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與拋物線C交于不同的兩點A,B，且與直線l交于點Q.證明：存在常數λ，使得|QT|2=λ|QA|·|QB|，并求λ的值.

圖3

設A(x1,y1),B(x2,y2).將直線y=2kx+b′代入y2=4bkx中，可得4k2x2+4k(b′-b)x+b′2=0.

(1)求雙曲線E的方程及點T的坐標；

(2)設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與雙曲線E交于不同的兩點A,B，且與直線l交于點P.證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖4

結束語

圓錐曲線問題是每年的必考題，但它考查的基本數學思想是不變的.學生通過對圓錐曲線上一類問題的探究，會有很大收獲，可以提高學生發(fā)現問題、解決問題的能力，也可發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.教材是一切知識的源泉，也是重要的思想方法的載體，只有深入研究各種題型并歸類，才能達到以不變應萬變的復習效果.

[1]夏迎雪，于興江.一道數學高考題的多解和推廣[J].中學數學研究(江西)，2016，5.

[2]姜曉潔，于興江.對2015年北京高考數學理科19題的推廣探究[J].中學數學研究(江西)，2016,4.

*作者為在讀碩士研究生.