一道模考解幾題的一般結(jié)論及推廣

江蘇省昆山中學(xué) (215300)

季剛祥

?

一道?？冀鈳最}的一般結(jié)論及推廣

江蘇省昆山中學(xué) (215300)

季剛祥

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別與已知直線x=4交于點(diǎn)P和Q，試探究以線段PQ為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系．

這是一道散見于各地的?？冀鈳最}，原題解答如下：

(Ⅰ)(x-6)2-y2=4(過(guò)程略)；

(Ⅱ)由題意，直線l的斜率不為零，故可設(shè)l的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2)，由

圖1

因?yàn)閐=r，所以，以PQ為直徑的圓與l相切.

由特殊到一般的歸納猜想及類比推理的方法容易得到如下一般性的結(jié)論

一般結(jié)論 設(shè)A是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，過(guò)F的直線x1=x2=2交橢圓于M兩點(diǎn)，直線(x-6)2-y2=4分別與F相應(yīng)的準(zhǔn)線l′交于點(diǎn)C(m，0)，則以PQ為直徑的圓與直線AB切于點(diǎn)F.

而當(dāng)m=0時(shí)，顯然有DF⊥l，因?yàn)閐=r，所以以PQ為直徑的圓與l相切于點(diǎn)F.

同理可證當(dāng)F為左焦點(diǎn)l′為左準(zhǔn)線時(shí)結(jié)論也成立(證明略)，而由對(duì)稱性，其它情形結(jié)論也成立.

根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義不難得到以下兩種推廣結(jié)論：

推廣1 設(shè)A是雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別與F相應(yīng)的準(zhǔn)線l′交于點(diǎn)P、Q，則以PQ為直徑的圓與直線l切于點(diǎn)F.

由題意，直線l的斜率不為零，故可設(shè)l的方程為x=my+c,M(x1,y1),N(x2,y2)，

(b2m2-a2)y2+2mcb2y+b4=0，由韋達(dá)定理

而當(dāng)m=0時(shí)，顯然有DF⊥l，因?yàn)閐=r，所以，以PQ為直徑的圓與l相切于點(diǎn)F.

同理可證當(dāng)F為左焦點(diǎn)l′為左準(zhǔn)線時(shí)結(jié)論也成立(證明略)，而由對(duì)稱性，其它情形結(jié)論也成立.

推廣2 設(shè)A為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于M,N兩點(diǎn)，若直線AM,AN分別交拋物線的準(zhǔn)線l′于P,Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓與直線l切于點(diǎn)F.