幾道2016年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題求解之深度思考

江西省上饒市鄱陽中學(xué) (333100)

王運(yùn)良

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幾道2016年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題求解之深度思考

江西省上饒市鄱陽中學(xué) (333100)

王運(yùn)良

解題不是一蹴而就的事.要善于學(xué)習(xí)，勤于總結(jié).從本文所選例題的證明來看似乎簡(jiǎn)單容易，其實(shí)不然，每道題的求解都是經(jīng)過精心思考、細(xì)致打磨出來的，都飽含著解題者的辛苦和汗水.“汗滴禾下土”，題題皆辛苦.

例1 (2016年土庫曼斯坦數(shù)學(xué)奧林匹克)

注1：換元的目的之一是去根號(hào).本題中，巧妙使用特定的三角換元一舉消除兩個(gè)根號(hào).

例2 (2016年土庫曼斯坦數(shù)學(xué)奧林匹克)

2016年土庫曼斯坦數(shù)學(xué)奧林匹克中還有以下不等式題(留給讀者練習(xí)):

例3 (2016年絲綢之路國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽)

已知a,b,c是滿足|(a-b)(b-c)(c-a)|=1的實(shí)數(shù)，求|a|+|b|+|c|的最小值.

解：不妨設(shè)a≥b≥c，則由均值不等式可得

注3：增設(shè)條件(排序)的目的為的是去絕對(duì)值符號(hào).

但不如前面的方法自然貼切，就如同下面的改編題遠(yuǎn)不如原題精彩一樣：

例4 (2016年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克)

例5 (2016年阿塞拜疆?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克)

注5：均值不等式的特征之一是：“和”不小于“積”.剩下考慮的當(dāng)然就是讓字母“火并”.

=(n-1)n，因此，原不等式成立.

注6:n=3時(shí)，本題即為2002年拉脫維亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題.

將本題推廣，宋慶老師獲得并證明了下述結(jié)果：

例7 (2016年日本數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c,d是滿足ab+bc+cd=1的實(shí)數(shù)，求(a2+ac+c2)(b2+bd+d2)的最小值.