例析數(shù)列中幾道常見(jiàn)的分類(lèi)討論問(wèn)題

浙江省紹興市魯迅中學(xué) (312000)

鐘杰倫

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例析數(shù)列中幾道常見(jiàn)的分類(lèi)討論問(wèn)題

浙江省紹興市魯迅中學(xué) (312000)

鐘杰倫

分類(lèi)討論思想是高中數(shù)學(xué)的一種重要的思想，也是歷年高考的考查重點(diǎn)．在解決數(shù)列問(wèn)題的過(guò)程中,涉及到分類(lèi)討論的題目時(shí)常出現(xiàn).下面總結(jié)幾例予以說(shuō)明.

例2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2且q≠0).

(1)設(shè)bn=an+1-an(n∈N*),證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析:(1)∵an+1=(1+q)an-qan-1,∴an+1-an=q(an-an-1),即bn=bn-1,∴數(shù)列{bn}是以q為公比,b1=a2-a1=1為首項(xiàng)的等比數(shù)列.

評(píng)析:此題的易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)公比q的討論,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題往往會(huì)出現(xiàn)公比q為參數(shù)的情形,此時(shí)討論公比q是否可以等于1就是解決題目的關(guān)鍵.

(1)求a1、d和Tn；

(2)若對(duì)任意的n∈N*，不等式λTn

評(píng)析:數(shù)列問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)(-1)n的形式,當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)公式中出現(xiàn)(-1)n的形式時(shí),往往對(duì)n分奇、偶討論,問(wèn)題就迎刃而解了.

例4 數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，且a1+a6=-6，a3·a4=8．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．

得a3、a4是方程x2+6x+8=0的二個(gè)根x1=-2,x2=-4，又此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，∴a3=-4,a4=-2，∴公差d=2,a1=-8，∴an=2n-10.

(2)由an≥0得2n-10≥0，解得n≥5，此數(shù)列前四項(xiàng)為負(fù)的，第五項(xiàng)為0，從第六項(xiàng)開(kāi)始為正的．當(dāng)1≤n≤5且n∈N*時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+9n.當(dāng)n≥6且n∈N*時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…

+|a5|+|a6|+…+|an|=-(a1+a2+…+a5)+(a6+…+an)=Sn-2S5=n2-9n+40.

評(píng)析:此題的關(guān)鍵在于求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn時(shí)，需考慮去絕對(duì)值的條件時(shí)應(yīng)注意對(duì)相應(yīng)n范圍的討論．

(1)求Sn;

評(píng)析:這是一道典型的分組求和問(wèn)題．當(dāng)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中帶有正弦、余弦等三角形式時(shí)，往往可先考慮三角式的周期，然后再按三角式的周期進(jìn)行分組求和．當(dāng)然，這類(lèi)題往往也可運(yùn)用并項(xiàng)求和方法求解．