淺談圓錐曲線最值處理策略

筅江蘇省徐州市第三中學(xué)　牛含冰

淺談圓錐曲線最值處理策略

筅江蘇省徐州市第三中學(xué)牛含冰

圓錐曲線的最值問(wèn)題是高考常考題型，解答此類問(wèn)題的途徑是利用平面幾何的幾何性質(zhì)及坐標(biāo)法、代入消元法、根與系數(shù)的關(guān)系等，將幾何問(wèn)題代數(shù)化后，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，再利用相關(guān)方法求函數(shù)的最值，下面通過(guò)引例加以說(shuō)明.

引例設(shè)P，Q分別為圓x2＋（y-6）2＝2和橢圓＋y2＝1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是（%）.

解析：設(shè)圓心為點(diǎn)C，則圓x2＋（y-6）2＝2的圓心為C（0，6），半徑r＝.設(shè)點(diǎn)Q（x0，y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，則

點(diǎn)評(píng)：本題解答中利用坐標(biāo)法將幾何問(wèn)題代數(shù)化后，構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)為二次型，進(jìn)而利用二次函數(shù)配方法求最值.求解中注意橢圓中x，y的取舍范圍，即-a≤x≤a，-b≤y≤b.

除了二次函數(shù)配方法求最值外，還常涉及以下幾種方法.

一、利用三角函數(shù)的有界性

例1同引例.

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的參數(shù)方程建立了其與三角之間的聯(lián)系.同理圓心在（x0，y0）半徑為r的圓的參數(shù)方程為參數(shù)θ為圓心角）；雙曲線=1的參數(shù)

同樣可求得D到直線AC的距離：d2≤

所以SABCD≤

點(diǎn)評(píng)：A、C兩點(diǎn)在橢圓上，A（5，0），C（0，4），欲求四邊形ABCD面積的最大值，可將四邊形分成兩個(gè)三角形，顯然A、C是定點(diǎn)，則|AC|為定值，因此四邊形應(yīng)分成△ADC，△ABC，只要分別在AC兩側(cè)橢圓弧上求一點(diǎn)，使它到AC的距離最遠(yuǎn)即可.本題最值求解中利用了函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的性質(zhì).

二、利用均值不等式法

（Ⅰ）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

解析：（Ⅰ）證明：由題意可知，F(xiàn)的坐標(biāo)是（-2，0），設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，m），則直線TF的斜率

當(dāng)m≠0時(shí)，直線PQ的斜率kPQ＝，直線PQ的方程是x＝my-2.

當(dāng)m＝0時(shí)，直線PQ的方程是x＝-2，也符合x＝my-2的形式.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線PQ的方程與橢圓C的

點(diǎn)評(píng)：此類最值問(wèn)題是高考重點(diǎn).通過(guò)坐標(biāo)法、代入消元法、判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，所幾何問(wèn)題代數(shù)化后構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)，再將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為適合均值不等式的類型.解題中若沒(méi)找到構(gòu)造均值不等式的途徑，可先用換元法簡(jiǎn)化函數(shù)式結(jié)構(gòu)，如本題中在求出目標(biāo)函數(shù)后，可假設(shè)m2+1=t，則目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為從而將均值不等式的形式顯現(xiàn)出來(lái).

三、利用導(dǎo)數(shù)法

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2= 2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

（Ⅰ）求拋物線C的方程.

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

解：（Ⅰ）x2=2y.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有

點(diǎn)評(píng)：本題求解中利用點(diǎn)到直線的距離、圓的幾何性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)法、消元法、根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式等，求得的目標(biāo)函數(shù)為高次函數(shù)，可考慮用導(dǎo)數(shù)法求最值.上述解答中先通過(guò)換元，將目標(biāo)函數(shù)降次，再利用導(dǎo)數(shù)求最值.Z