一道立體幾何最值問(wèn)題的拓展探究

筅江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)　朱煒俊

一道立體幾何最值問(wèn)題的拓展探究

筅江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)朱煒俊

立體幾何中體積最值問(wèn)題能有效考查學(xué)生的空間想象能力、數(shù)形結(jié)合能力，以及函數(shù)與方程思想的理解和掌握程度，因此在高考中備受命題人的關(guān)注，本文以一道課本練習(xí)題為引例，就此類問(wèn)題的求解拓展探究.

圖1　

圖2　

例1（課本練習(xí)題）如圖1，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O′A′B′C′中E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.

（1）求證：A′F⊥C′E；

（2）當(dāng)三棱錐B′-BEF的體積取最大時(shí)，求二面角B′-EF-B的正切值.

解析：（1）略.

（2）已知三棱錐B′-BEF的高BB′為定值，欲使其體積最大，則其底面積BEF最大.如圖2所示，在正方形OABC中，設(shè)AE=BF=x（0

方法1：利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=a時(shí)，S取得2最大值

以下利用空間向量法求二面角B′-EF-B的正切值.（過(guò)程略）

評(píng)注：解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是據(jù)所給的條件，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，再利用函數(shù)求最值的方法求解，如二次函數(shù)配方法、均值不等式法、三角函數(shù)最值法、分離常數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等方法求解.下面對(duì)此題進(jìn)行變式探究.

一、變化動(dòng)點(diǎn)位置

圖3　

例2如圖3，在棱長(zhǎng)為2的正方體OABC-O′A′B′C′中，M、N分別為線段OB上的點(diǎn)，若∠MAN= 30°，則三棱錐C′-AMN體積的最大值為______.

解析：因?yàn)槿忮FC′-AMN的高為定值，則其體積最大時(shí)，其底面積AMN取最大值.

VC′-AMN=AN.

過(guò)點(diǎn)A作AH垂直O(jiān)B于點(diǎn)H，如圖4，易知，當(dāng)MN取最大值時(shí)，三角形AMN的面積最大.不妨設(shè)∠MAH＝

圖4　

評(píng)注：本題將例1中動(dòng)點(diǎn)的位置置于對(duì)底面的對(duì)角線OB上，將空間問(wèn)題平面化后，利用解三角形知識(shí)求解，使體積最值轉(zhuǎn)化為三角形面積最值問(wèn)題，通過(guò)面積公式構(gòu)造三角函數(shù)關(guān)系，再借助函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)求解，求解過(guò)程中注意角的范圍變化，防止錯(cuò)解.

二、改變求解結(jié)論

例3如圖3，在棱長(zhǎng)為2的正方體OABC-O′A′B′C′中，M、N分別為線段OB上的點(diǎn)，若∠MAN=30°，則三棱錐C′-AMN體積的最小值為_______.

同例2解答，如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AH垂直O(jiān)B于點(diǎn)H，易知，當(dāng)MN取最小值時(shí)，三角形面積最小，不妨設(shè)∠MBH＝ α，∠NBH=β，由AH=所以，當(dāng)且

評(píng)注：本題將例2所求結(jié)論改為最小值，同樣利用例2的解答方法，即構(gòu)造三角函數(shù)求最值.在一道題目解答完畢后，通過(guò)對(duì)題目的條件或結(jié)論進(jìn)行變式探究，能有效地考查同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)靈活解答問(wèn)題的能力.

三、變換求解方法

例4同例3.

圖5　

由面積公式得S△AMN=xysin30°，所以S△AMN=·MN=xysin30°，所以xy=2MN.

由余弦定理可得MN2=x2+y2-2xycos30°=x2+y2-

所以VP-BMN的最小值為

評(píng)注：對(duì)一道題通過(guò)從不同角度進(jìn)行分析解答，即一題多解訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維，有利于建立不同知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，從而形成解題思維和解題能力的提高.

四、問(wèn)題拓展延伸

例5如圖6，∠ACB＝45°，BC＝3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°，連接BC（如圖7所示）.

圖6　

圖7　

（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大？

（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)E、M分別為棱BC、AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小.

解析：（1）在如圖6所示的△ABC中，設(shè)BD＝x（0＜x＜3），則CD＝3-x.

由AD⊥BC，∠ACB＝45°，知△ADC為等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3-x.

由折起前AD⊥BC，知折起后，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3-x，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立.

故當(dāng)x＝1，即BD＝1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大.

（2）略.

評(píng)注：據(jù)題構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)后，利用均值不等式的三元形式，即a，b，c>0，a+b+c

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”成立）求函數(shù)最值.

總之，求立體幾何最值問(wèn)題的方法是根據(jù)所給條件確定目標(biāo)函數(shù)，再利用相關(guān)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值，除本文所述的幾種方法外，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要不斷進(jìn)行歸納總結(jié)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，提高自己的應(yīng)試能力.F