導數視角下曲線切線的求解及應用——以解析幾何為例說明

筅江蘇省宜興市和橋高級中學　戴棟焱

導數視角下曲線切線的求解及應用——以解析幾何為例說明

筅江蘇省宜興市和橋高級中學戴棟焱

眾所周知，解析幾何中直線與圓錐曲線位置關系是高考數學的重要內容之一.縱觀近幾年的各省、市的高考試題，直線與圓曲線相切問題經常映入我們的眼簾，對于此類問題的求解關鍵是切線方程的引入.本文從導數的視角來引入解析幾何中曲線的切線.

一、圓的切線方程

過圓x2+y2=r2上的點（x0，y0）的切線方程：對x求導得2yy′=-2x，所以切線的斜率為k=y′=-y0≠0時），所以切線方程為y-y0=-（x-x0），整理得x0x＋y0y＝r2（當y0=0時，亦滿足）.同理可得圓（x-a）2+（y-b）2=r2的切線方程為（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2.

例1圓x2＋y2＝4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為的坐標P為________.

圖1　

解析：如圖1，設切點坐標為（x0，y0）（x0>0，y0>0），則切線方程為x0x＋y0y＝4，此時兩個坐標軸的正半軸與切線的交點分別為，故其圍成的三角形的面積S＝知，當且僅當x0＝y(tǒng)0＝時，x0y0有最大值2，此時S有最小值4，因此點P的坐標為

二、橢圓的切線方程

例2在平面直角坐標系xOy中，點P（x0，y0）（y0≠0）

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）若直線l與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，試求△OAB面積的最小值.

分別相交于A，B兩點，所以x0≠0，y0≠0.

所以△OAB的面積S△OAB=

因為點P（x0，y0）在橢圓C所以

三、雙曲線的切線方程

圖2　

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）過C上一點P（x0，y0）（y0≠0）的切線l與直線AF相交于點M，與直線x＝相交于點N，證明：當點P在C上移動時恒為定值，并求此定值.

又P（x0，y0）是C上一點，則

四、拋物線的切線方程

過拋物線y2=2px（p>0）上的點（x0，y）0的切線方程：對x求導得2yy′=2p，所以切線的斜率k=（y≠0時），所以0切線方程為y-y=x-x），整理得yy=p（x+x）（y=0時亦00000成立）.同理焦點在x負軸上的切線方程為yy0=-p（x+x0）；焦點在y軸正半軸上的拋物線的切線方程為：xx0=p（y+y0）；焦點在y軸負半軸上的切線線方程為xx0=-p（y+y0）.

圖3　

例4已知拋物線C：y=x2，過點M（1，2）的直線交C與A、B兩點，拋物線C在點A處的切線與點B處的切線相交于點P，求△PAB面積的最小值.

解析：如圖3，設A（x1，y1），B（x2，y2），則P可以看成是兩切線的交點，故可以先求兩條切線方程，再求P點坐標.

綜上所述，處理圓錐曲線的切線問題，利用導數的幾何意義，即在切點的導數值即為在該點的切線的斜率，從而直接引出切線方程.在具體解答時應將切線的推導過程加入解答過程中.Z