對(duì)一道與正方形有關(guān)的競(jìng)賽試題的變式探究

☉寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校　張　寧

對(duì)一道與正方形有關(guān)的競(jìng)賽試題的變式探究

☉寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校張寧

一、試題及解答

試題（2015年福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，則△CEF的周長(zhǎng)為_(kāi)____.

圖1

圖2

解析：如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△ADG，則△ABE≌△ADG，所以AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°=∠EAF.在△EAF和△GAF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF.所以△EAF≌△GAF，所以EF=GF.所以△CEF的周長(zhǎng)為CE+CF+EF=1-BE+CF+GF=1-DG+CF+DG+DF=1+CF+ DF=1+1=2.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，將△ABE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，構(gòu)造△GAF，由此得出△EAF≌△GAF，從而證明EF=GF，這是解題的關(guān)鍵.通過(guò)證明可知，只要點(diǎn)F不與點(diǎn)D或點(diǎn)C重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合，不論點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上何處，只要保持∠EAF= 45°，即可得到△CEF，而且它的周長(zhǎng)是一個(gè)定值，即△CEF的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的兩倍.本題中，點(diǎn)E、F是定角∠EAF=45°控制下的動(dòng)點(diǎn)，△AEF與△CEF均是動(dòng)態(tài)三角形，所以本題可以看作是動(dòng)態(tài)幾何中的定值問(wèn)題.

二、變式探究

變式1：如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且△CEF的周長(zhǎng)為2，求∠EAF的大小.

解析：如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△ADG，則△ABE≌△ADG，所以AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.由已知△CEF的周長(zhǎng)為2，即CE+CF+EF= 2.因?yàn)镃E=1-BE，CF=1-DF，所以1-BE+1-DF+EF=2，即EF=BE+DF=DG+DF=GF.在△EAF和△GAF中，AE=AG，EF=∠GF，AF=AF，所以△EAF≌△GAF，所以∠EAF=∠GAF.因?yàn)椤螧AE=∠DAG，所以∠EAF=∠BAE+∠DAF.所以∠EAF+∠BAE+∠DAF=90°，所以∠EAF= 45°.

點(diǎn)評(píng)：由證明可知，只要點(diǎn)F不與點(diǎn)D或點(diǎn)C重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合，不論點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上何處，只要保持△CEF的周長(zhǎng)是2，即△CEF的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的兩倍，則∠EAF=45°.顯然，變式1是試題的逆命題.

變式2：如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，當(dāng)∠EAF=45°時(shí)，△AEF的面積是不是定值？如果不是，它有最大值還是最小值？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：由試題知，當(dāng)∠EAF=45°時(shí)，EF=GF.如圖2，令DF=x，BE=y，則FC=1-x，CE=1-y，DG=y.所以EF=GF=DF+ DG=x+y.

由試題或變式1知，S△AEF=S△AGF.

在Rt△CEF中，由勾股定理可知，F(xiàn)C2+CE2=EF2.

所以△AEF的面積不是定值.

變式3：如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)是2時(shí)，△AEF的面積是不是定值？如果不是，它有最大值還是最小值？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：方法同變式2，請(qǐng)讀者自行解答，此處從略.

在圖1中連接BD，借助于幾何畫板或超級(jí)畫板，筆者探究得到了變式4.

變式4：如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，連接BD，BD分別交AF、AE于點(diǎn)M、N，求證：DM2+BN2=MN2.

證明：如圖4，作點(diǎn)D關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG、NG、AG，則△ADM≌△AGM，所以DM=GM，AD= AG，∠3=∠4，∠AMD=∠AMG.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD=AB，∠1+∠2+∠3+∠4=90°.

因?yàn)锳D=AG，∠2+∠3=45°，所以AB=AG，∠1+∠4= 45°.所以∠2+∠3=∠1+∠4，所以∠1=∠2.

又AN=AN，所以△AGN≌△ABN，所以BN=GN，∠ANB=∠ANG.

因?yàn)椤螦DM=45°，所以∠AMD=180°-45°-∠4=135° -∠4.所以∠AMG=135°-∠4.

同理可知，∠ANG=135°-∠1.

所以∠MGN=360°-∠AMG-∠ANG-∠MAN=360°-（135°-∠4）-（135°-∠1）-45°=90°+（∠4+∠1）-45°=90°.

所以△MGN是直角三角形，所以GM2+GN2=MN2.

又因?yàn)镈M=GM，BN=GN，所以DM2+BN2=MN2.

圖3

圖4

圖5

點(diǎn)評(píng)：本題較為復(fù)雜，根據(jù)結(jié)論，易想到直角三角形中的勾股定理，因而需要將三條線段DM、BN、MN轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，并證明這個(gè)三角形是直角三角形即可，圖形變換是將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形的最基本工具，這也是解決這類問(wèn)題的基本思路.由證明過(guò)程可知，∠AMG=135°-∠4，所以∠FMG=180°-（135°-∠4）=45°+∠4=45°+∠3，所以∠AGM=45°，所以AG平分∠MGN.

思考：在本題的證明過(guò)程中，點(diǎn)G是通過(guò)作點(diǎn)D關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)而得到的，那么F、G、E這三點(diǎn)是不是在同一條直線上呢？

解析：如圖5，連接FG、EG.因?yàn)辄c(diǎn)G和點(diǎn)D關(guān)于直線AF對(duì)稱，所以△DFM≌△GFM，所以∠MDF=∠MGF= 45°.同理可知，∠NBE=∠NGE=45°.

所以∠FGE=∠MGF+∠MGN+∠NGE=45°+90°+45° =180°.

所以F、G、E這三點(diǎn)在同一條直線上.

說(shuō)明：由以上證明易知，∠AGF=∠AGM+∠FGM= 45°+45°=90°，所以AG⊥EF.

在以上變式中，點(diǎn)M、N均在正方形ABCD的對(duì)角線BD上且不與點(diǎn)B、D重合，當(dāng)點(diǎn)M、N中有一個(gè)點(diǎn)在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段DM、BN、MN之間存在什么樣的關(guān)系呢？

經(jīng)筆者探究，線段DM、BN、MN之間的關(guān)系依然是DM2+BN2=MN2.

變式5：如圖6，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊CD上且不與點(diǎn)D、C重合，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，且∠EAF=45°，AF交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，AE交BD于點(diǎn)N，求證：DM2+BN2=MN2.

證明：如圖7，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG、NG、AG、DG，則△ABN≌△AGN，所以BN=GN，AB= AG，∠1+∠2+∠3=∠4，∠AGN=∠ABN=45°.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD=AB，∠3+∠4=90°.

因?yàn)锳B=AG，∠2+∠3=∠EAF=45°，所以AD=AG，∠1=∠4-45°，∠2=45°-∠3=45°-（90°-∠4）=∠4-45°.所以∠1=∠2.

又AM=AM，所以△AGM≌△ADM，所以DM=GM，∠AGM=∠ADM=135°.

所以∠MGN=∠AGM-∠AGN=135°-45°=90°.

所以△MGN是直角三角形，所以GM2+GN2=MN2.

又因?yàn)镈M=GM，BN=GN，所以DM2+BN2=MN2.

圖7

點(diǎn)評(píng)：由此可知，當(dāng)M、N中有一個(gè)點(diǎn)在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段DM、BN、MN之間的關(guān)系是DM2+BN2= MN2.本題與變式4相比，探究結(jié)論的思路與方法完全相同，但本題更具有挑戰(zhàn)性.

三、關(guān)于幾何試題變式的反思

對(duì)于幾何試題的變式，其一，可考慮它的逆命題是否成立.其二，在保持基本圖形不變的情況下，通過(guò)構(gòu)造線段、角等基本圖形，從而可得到一些新圖形，然后借助于幾何畫板或超級(jí)畫板等數(shù)學(xué)工具探索變化后圖形中的角或線段之間的大小關(guān)系、線段之間位置關(guān)系等，最后通過(guò)人工推理，證明有關(guān)角或線段之間的大小關(guān)系、有關(guān)線段之間位置關(guān)系，從而得到幾何試題的變式，這也是命制幾何試題快速有效的方法之一.其三，可考慮對(duì)基本圖形一般化，將等腰三角形、等邊三角形、正方形、菱形、矩形、平行四邊形等特殊圖形一般化，或者將三角形變?yōu)樗倪呅蔚?最后，驗(yàn)證原結(jié)論是否改變.如果結(jié)論不變，就要思考在新圖形中如何證明結(jié)論；如果結(jié)論改變，會(huì)得到什么新結(jié)論，對(duì)新結(jié)論如何推理證明，這是進(jìn)行幾何試題變式探究的有效途徑之一.對(duì)于變式而來(lái)的試題的使用，讀者可根據(jù)命題的要求及考查目標(biāo)，命制具有一定難度的試題.

1.張寧.從解法中尋求改進(jìn)從變式中探究推廣——對(duì)一道全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題的變式與推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（4）.

2.張寧.追尋本質(zhì)解法變式演繹精彩——一道競(jìng)賽題的解法及變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.

3.李玉榮.幾道題的解法之我見(jiàn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.H