難題破解重思路，講評(píng)預(yù)設(shè)問(wèn)題串——一道“北京四中?？碱}”的思路與教學(xué)

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校　丁志國(guó)

難題破解重思路，講評(píng)預(yù)設(shè)問(wèn)題串——一道“北京四中模考題”的思路與教學(xué)

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校丁志國(guó)

初三復(fù)習(xí)備課期間，我們常常會(huì)關(guān)注來(lái)自不同地區(qū)的模考試題，并將一些復(fù)習(xí)過(guò)程中的“盲點(diǎn)”試題類型引入自己的教學(xué)中進(jìn)行補(bǔ)充和拓展，這在復(fù)習(xí)工作中顯得十分重要.最近一次家庭作業(yè)中，筆者給部分優(yōu)秀學(xué)生挑選了網(wǎng)上傳播的一道北京四中模考難題，為了追求較好的講評(píng)效果，筆者進(jìn)行了相關(guān)備課準(zhǔn)備，取得了較好的解題教學(xué)效果.本文梳理該題的思路突破與講評(píng)時(shí)的問(wèn)題串預(yù)設(shè)，供研討.

一、考題思路突破與反思回顧

考題：（2015～2016學(xué)年北京市第四中學(xué)初三下學(xué)期3月?？季?，第29題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，在半圓O與其直徑所構(gòu)成的封閉圖形N中，有一個(gè)小圓⊙P分別與直徑和半圓弧相切.當(dāng)⊙P的直徑改變時(shí)，其圓心P的位置也會(huì)發(fā)生變化，點(diǎn)P的所有可能的位置所組成的曲線（不包括A、B兩點(diǎn)）稱作圖形N的“內(nèi)切軌跡”，如圖中的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中還有一條動(dòng)直線y=kx+b（k≠0）.已知OA=OB=1.

（1）若⊙P同時(shí)也與y軸相切，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；

（3）當(dāng)k的值一定時(shí)，若使直線y=kx+b與圖形N的“內(nèi)切軌跡”只有一個(gè)公共點(diǎn)的b的取值范圍為m≤x≤n的形式，求k的取值范圍.

圖1

（一）思路講解

解題之前的必要準(zhǔn)備是先讀懂新定義，⊙P與x軸相切，⊙P與半圓相切，可以初步理解點(diǎn)P的位置（不含A、B），并且這些點(diǎn)P形成“內(nèi)切軌跡”.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

讓我們調(diào)整草圖，構(gòu)造圖6，分析臨界位置，

如圖6，當(dāng)k＞1時(shí)，可滿足題意，因此，當(dāng)k＞0時(shí)，k滿足k≥1.

根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)k＜0時(shí)，k滿足k≤-1.

綜上，k的取值范圍：k≥1或k≤-1.

（二）解后反思

從上面的求解思路來(lái)看，有好幾處解題關(guān)鍵.

二、解題教學(xué)的“問(wèn)題串”設(shè)計(jì)

以下提供系統(tǒng)問(wèn)題串，在這些問(wèn)題串的引導(dǎo)下幫助學(xué)生理解和思考模考題.

問(wèn)題3：⊙P是否可能與y軸相切？如果可能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，說(shuō)明理由.

問(wèn)題4：試分析圖形N的“內(nèi)切軌跡”是否有最高點(diǎn).如果有，求出這個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

問(wèn)題7：當(dāng)k=2時(shí)，若直線y與圖形N的“內(nèi)切軌跡”只有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍.

問(wèn)題8：當(dāng)k=-3時(shí)，若直線y與圖形N的“內(nèi)切軌跡”只有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍.

問(wèn)題9：當(dāng)k的值一定時(shí)，若使直線y與圖形N的“內(nèi)切軌跡”只有一個(gè)公共點(diǎn)的b的取值范圍為m≤x≤n的形式，求k的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上述問(wèn)題串，讓學(xué)生在啟發(fā)式問(wèn)題的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)從特殊到一般獲取思路、解決考題.

三、結(jié)束語(yǔ)

初三復(fù)習(xí)階段，試卷講評(píng)課是一種重要的課型，如何突出重點(diǎn)，解析難點(diǎn)，把力用在點(diǎn)子上，是值得每個(gè)備考教師認(rèn)真思考的課題，我們期待通過(guò)對(duì)一道模考難題的思路突破和解題教學(xué)的問(wèn)題串設(shè)計(jì)，提供一種備課的思路，拋磚引玉，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

2.鄭毓信.善于提問(wèn)［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

4.劉東升.對(duì)時(shí)育物，有效追問(wèn)——淺論初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的追問(wèn)藝術(shù)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（4）.Z