規(guī)范與探究并行，著力提升運(yùn)算能力

周冬波

摘要：筆者通過一道習(xí)題展開多種運(yùn)算引發(fā)思考，提出了提高學(xué)生實(shí)際運(yùn)算能力的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);運(yùn)算能力;提高

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1992-7711（2016）04-081-1

一、問題的提出

在學(xué)習(xí)了橢圓的離心率后，布置學(xué)生做了這樣一道習(xí)題：已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），其右焦點(diǎn)F關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱點(diǎn)仍然落在橢圓上，求橢圓的離心率。

二、問題的探究

探究1：思路的確定

不少同學(xué)能立即提供本題的思路：先算出右焦點(diǎn)F關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);其次將所得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，整理得到a，b，c的齊次等式，最后得到e的方程，解之得到解。

探究2：具體運(yùn)算

8分鐘后，只有個(gè)別同學(xué)算出結(jié)果。很多同學(xué)一籌莫展，無(wú)法將運(yùn)算進(jìn)行下去。我決定讓學(xué)生分步交流運(yùn)算歷程：

第一步求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

運(yùn)算一（1）：設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線y=bcx垂直的直線為y=-cb（x-c），將y=bcx，y=-cb（x-c）聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為（c3a2，bc2a2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

運(yùn)算一（2）：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)對(duì)稱性得yx-c·bc=-1

y2=bc·x+c2，解方程組得（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

兩種思路的比較：思路一將點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，通過解一組二元一次方程組得以實(shí)現(xiàn)，解法自然簡(jiǎn)捷;思路二是解析幾何的基本方法待定系數(shù)法的具體表現(xiàn)，同樣通過解一組二元一次方程組得以實(shí)現(xiàn)，解法也不錯(cuò)，體現(xiàn)了大多數(shù)學(xué)生的運(yùn)算基本功。

第二步將所得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，整理得到a，b，c的齊次等式。

第三步解e的方程

運(yùn)算：由4c6+c2a4=a6兩邊同除a6得4e6+e2=1，將e2=t得4t3+t=1，通過觀察得t=12為4t3+t=1的一個(gè)根，從而4t3+t-1=（t-12）（4t2+4t+5）=0，進(jìn)一步得4t3+t=1的根為12，從而e=22。

這一運(yùn)算因?yàn)樗梅匠檀螖?shù)較高，使得不少學(xué)生不能順利運(yùn)算，需要學(xué)生利用換元降次，觀察出特殊根因式分解降次等運(yùn)算技巧。

探究3：思路的再分析

在經(jīng)歷三個(gè)步驟的運(yùn)算后，不少學(xué)生開始自我演算，但這種比較繁瑣的運(yùn)算讓平時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的同學(xué)有些意猶未見，產(chǎn)生了尋求其他做法的思考。有同學(xué)提醒本題中有個(gè)特殊焦點(diǎn)，能否結(jié)合焦點(diǎn)具備的幾何關(guān)系來(lái)解決呢，這啟發(fā)了大多數(shù)同學(xué)開始積極的嘗試。幾分鐘后，有學(xué)生提供了解法。

三、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

1.提升認(rèn)識(shí)，以解幾為契機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。在高考中，幾乎所有的題目都需要運(yùn)算，高考對(duì)運(yùn)算能力的要求可以歸納為：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行數(shù)、式、方程的正確變形、運(yùn)算，能根據(jù)問題的條件，尋求設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。因此，運(yùn)算能力不僅僅是一種操作實(shí)踐能力，更重要的是一種容觀察、判斷、聯(lián)想、探究于一體的思維能力。

2.科學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，分步解答，引導(dǎo)學(xué)生形成和應(yīng)用規(guī)范的解題思路，讓運(yùn)算更準(zhǔn)確，更熟練。影響運(yùn)算準(zhǔn)確的因素是多方面的，只要在運(yùn)算全過程的某一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)運(yùn)算的錯(cuò)誤。在高考中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是：在運(yùn)算過程中使用的概念要準(zhǔn)確無(wú)誤，使用的公式要準(zhǔn)確無(wú)誤，使用的法則要準(zhǔn)確無(wú)誤，最終才能保證運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確無(wú)誤。絕大多數(shù)學(xué)生的解題運(yùn)算往往是零散的、隨意的，沒有形成程序性和規(guī)范性，這導(dǎo)致很多學(xué)生該算對(duì)的、能算對(duì)的算不對(duì)。這就要求教師要讓學(xué)生明確什么是規(guī)范的解題運(yùn)算并在實(shí)踐中不斷予以正確的示范以及對(duì)不規(guī)范的糾正。在習(xí)題教學(xué)中，很多教師一般采用如下程序教學(xué)：學(xué)生回報(bào)各自的思路，教師選擇具有代表性的思路，組織學(xué)生討論研究所提供思路的正誤和優(yōu)劣，讓學(xué)生再次提出新的解題思路，最后總結(jié)出所有思路的共性內(nèi)容和個(gè)性特點(diǎn)。而實(shí)際情況是有不少學(xué)生擁有解題思路但具體落實(shí)的時(shí)候因?yàn)檫\(yùn)算的不準(zhǔn)確、不熟練、不規(guī)范，同樣無(wú)法完成一道題目，這就要求教師在解題教學(xué)中不僅要關(guān)注思路的構(gòu)建，整體解法的設(shè)計(jì)，還要更多地關(guān)注運(yùn)算過程，尤其是常規(guī)運(yùn)算的反復(fù)訓(xùn)練。

3.積累技巧，在探究中激發(fā)學(xué)生的運(yùn)算潛能，讓運(yùn)算更合理、更簡(jiǎn)捷。較復(fù)雜的運(yùn)算，往往是由多個(gè)較簡(jiǎn)單的運(yùn)算組合而成的，從而運(yùn)算途徑的選擇具有多樣性。所選擇的運(yùn)算路徑短、運(yùn)算步驟少、運(yùn)算時(shí)間省、運(yùn)算的簡(jiǎn)捷程度就高。而簡(jiǎn)捷主要體現(xiàn)在運(yùn)算過程中概念的靈活運(yùn)用、公式的恰當(dāng)選擇，數(shù)學(xué)思想方法的合理使用上。這就要求我們要更多的關(guān)注運(yùn)算層面，多探究，尤其是細(xì)節(jié)的完善，從而提升運(yùn)算能力。