高中“任意角三角函數(shù)概念”的教學(xué)探究

林遠淵

[摘 要]三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，從周期性的角度來說，三角函數(shù)是周期函數(shù)，同時三角函數(shù)也為解決其他問題提供十分重要的工具，與后續(xù)學(xué)習的很多內(nèi)容有關(guān)聯(lián).學(xué)生通過對三角函數(shù)的學(xué)習，可以深入了解周期性思想，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力.通過大量的研究證實，HPM視角下的教學(xué)法可增強學(xué)生對“任意角三角函數(shù)概念”的理解，學(xué)好三角函數(shù)具有十分重要的影響.本文基于HPM視角下對高中“任意角三角函數(shù)概念”的教學(xué)進行了深入的分析和研究.

[關(guān)鍵詞]HPM視角 三角函數(shù) 教學(xué)探究

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2016）110007

HPM是一種簡稱，它是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組的簡稱，該小組是在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上成立的.HPM主要是數(shù)學(xué)史對教學(xué)設(shè)計等內(nèi)容進行深入的研究.一般情況下，我們所說的HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)就是從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的角度對數(shù)學(xué)知識進行教學(xué)研究.把數(shù)學(xué)史應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)實踐活動中，對提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量具有十分重要的積極作用.但是怎樣進行正確引入以及具體引入哪些內(nèi)容，是一個復(fù)雜的系統(tǒng)性問題.對我國來說，在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系方面的研究比較少，因此在實際教學(xué)中有很多教師沒有做好數(shù)學(xué)史對教學(xué)設(shè)計等內(nèi)容進行深入的研究.因此本文從HPM視角對“任意角三角函數(shù)概念”進行深入研究，希望能夠?qū)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂完美融合進行一定程度的探索，為進一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量開辟新的途徑.

一、HPM視角下高中“任意角三角函數(shù)概念”教學(xué)學(xué)情的分析

通常情況下，學(xué)生在開始學(xué)習任意三角函數(shù)的概念前，已經(jīng)學(xué)習了弧度制.教師要在弧度制的教學(xué)過程中有目的、有意識地加入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，這樣可以使學(xué)生從自己的思想意識中明確為什么要將弧度制引入到數(shù)

學(xué)教學(xué)活動中，同時也能夠幫助學(xué)生加深對單位圓的理

解[1].學(xué)

生在初中已掌握了銳角三角函數(shù)的相關(guān)含義，比如正弦和余弦以及正切等概念有了一定程度的了解.因此本文認為教師可以在弧度制的教學(xué)講解過程中對銳角三角函數(shù)的概念進行復(fù)習和回顧，之所以這樣做是因為從本質(zhì)上來說，弧度制是一種度量方式，最早也是為了解決三角形邊角關(guān)系的情況下產(chǎn)生的.為了充分提高教學(xué)的質(zhì)量，在實際的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當先不要講述三角函數(shù)的定義，而是要等到學(xué)生對任意三角函數(shù)的概念深入掌握后再將高中和初中的知識進行對比，這樣可以幫助學(xué)生建立一個清晰完整的三角函數(shù)知識體系.

二、HPM視角下高中“任意角三角函數(shù)概念”教學(xué)情境設(shè)計

學(xué)生到了高中階段，其生活經(jīng)驗和聯(lián)想能力都得到了發(fā)展和提高.所以教師要從生活的現(xiàn)象入手，激發(fā)學(xué)生對任意角三角函數(shù)的學(xué)習興趣[2].如引導(dǎo)學(xué)生對鐘表指針的旋轉(zhuǎn)以及自行車輪子的旋轉(zhuǎn)進行觀察，因為在這些運動中都存在著180°以上的角度，而且其運動的軌跡都和圓存在著十分直接的聯(lián)系.因此從某種角度來說，三角函數(shù)也叫圓函數(shù)[3].在這種情況下，完全可以借助單位圓引入任意角三角函數(shù)的概念.

問題1：怎樣從單位圓的角度出發(fā)去理解任意三角函數(shù)的定義？

如圖1所示，我們完全可以假設(shè)α是一個任意的角，在此基礎(chǔ)上進一步假設(shè)α的終邊和單位圓相交于一個點M（x，y）.在這種情況下，首先y就是角α的正弦，即sinα=y；其次，x就是角α的余弦，即cosα=x；y/x就是角α的正切，即tanα=y/x.

問題二：點M（x，y）的坐標和任意三角函數(shù)的正負存在著什么樣的內(nèi)部聯(lián)系？

此時，教師要利用這個問題導(dǎo)向，積極引領(lǐng)學(xué)生對三角函數(shù)的定義進行深入分析，利用該定義對三角函數(shù)符號和點M（x，y）的坐標關(guān)系進行分析，通常情況下，只要r的值是正數(shù)，那么橫坐標和縱坐標的正負就可以直接決定三角函數(shù)值的符號.

問題三：在分析和學(xué)習三角函數(shù)的周期性時，怎么實現(xiàn)對單位圓這一工具的有效利用？

此時，對圖1的單位圓進行深入的分析和實際的計算可以得出這樣一個重要的結(jié)論，那就是每當角度轉(zhuǎn)動了360°或者是360°的整數(shù)倍的時候，角的終邊都能夠回到原來的位置上.在這種情況下，三角函數(shù)在轉(zhuǎn)動前后的同名函數(shù)值應(yīng)該是相等的.因此，我們可以對這樣一種現(xiàn)象進行深入的分析和有效的利用，從而能夠通過有效的轉(zhuǎn)換，變成求0到2π角的三角函數(shù)值.

三、HPM視角下高中“任意角三角函數(shù)概念”教學(xué)效果的問卷調(diào)查

為了對HPM視角下高中“任意角三角函數(shù)概念”教學(xué)效果進行深入的了解和掌握，本次研究做了充分的調(diào)查，并在某學(xué)校進行了課堂教學(xué)的實踐.該學(xué)校的文理科比例是1∶4，從總體上來看，理科生對本節(jié)課的興趣高于文科班.部分學(xué)生認為本次課堂的感覺比較好，比以前更加有趣，還有的學(xué)生認識到單位圓具有周期性和對稱性，對用來研究三角函數(shù)具有很有效的幫助.總體來說，三角函數(shù)歷史悠久，將幾何知識、代數(shù)知識等融為一體，教師在教學(xué)的過程中應(yīng)當注意各個知識之間的聯(lián)系.

綜上所述，三角函數(shù)是高中學(xué)習中非常重要的知識內(nèi)容，從周期性的角度來說，三角函數(shù)是周期函數(shù)，同時三角函數(shù)也為解決其他問題提供十分重要的工具，與后續(xù)學(xué)習的很多內(nèi)容有關(guān)聯(lián).HPM主要對數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計等內(nèi)容進行深入的研究.因此我們要進一步進行深入思考和研究，采取有效措施，加強HPM視角的數(shù)學(xué)教學(xué)研究，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的來龍去脈，這樣既有利于提高學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，又能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]龔亮亮.“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計[J].中國教育技術(shù)裝備，2011（4）.

[2]曾榮.高中數(shù)學(xué)教材“推廣型”內(nèi)容的教學(xué)策略[J].教學(xué)與管理，2015（7）.

[3]陳漢裕.關(guān)于“任意角三角函數(shù)的定義”的教學(xué)[J].科技信息（科學(xué)教研），2007（7）.

（責任編輯 黃桂堅）