考研線性代數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容及常見(jiàn)題型

戴立輝　陳翔

摘要：本文依據(jù)考研大綱，對(duì)考研線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容及常見(jiàn)題型進(jìn)行歸納和總結(jié)，從而將線性代數(shù)課程要求學(xué)生掌握的知識(shí)體系體現(xiàn)出來(lái)，可作為教師進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)時(shí)參考。

關(guān)鍵詞：考研；線性代數(shù)；重點(diǎn)內(nèi)容；常見(jiàn)題型

中圖分類號(hào)：G643 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）47-0202-02

線性代數(shù)是考研數(shù)學(xué)（含高等數(shù)學(xué)或微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）重要組成部分之一，由于它的內(nèi)容的抽象性，因此在理解上有一定的難度，使許多學(xué)生對(duì)該課程的考題有無(wú)從入手的感覺(jué)。因此要求學(xué)生首先要充分理解線性代數(shù)的基本概念，在此基礎(chǔ)上，熟練掌握相關(guān)基本定理或基本性質(zhì)，最終熟練掌握基本計(jì)算方法，并及時(shí)將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)并提高，以達(dá)到融會(huì)貫通、舉一反三的目的?？佳芯€性代數(shù)內(nèi)容包括行列式、矩陣、向量與向量空間、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、二次型等[1]。本文依據(jù)考研大綱[2，3]，對(duì)考研線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容及常見(jiàn)題型進(jìn)行歸納和總結(jié)，從而將線性代數(shù)課程要求學(xué)生掌握的知識(shí)體系體現(xiàn)出來(lái)，可作為教師進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)時(shí)參考。

本文中，|A|表示方陣A的行列式，R（A）表示矩陣A的秩，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，A表示矩陣A的伴隨矩陣，其他符號(hào)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

一、行列式

行列式作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在線性代數(shù)課程中，如在計(jì)算矩陣的特征值中起著必不可少的作用。重點(diǎn)內(nèi)容是計(jì)算行列式（具體的或抽象的行列式的計(jì)算），計(jì)算的主要方法有：用行列式定義計(jì)算行列式、用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式（重點(diǎn)是化行列式為三角行列式）、按行或列展開(kāi)定理（包括拉普拉斯展開(kāi)定理）計(jì)算行列式、化行列式為范得蒙德行列式、用遞推法或數(shù)學(xué)歸納法或加邊法計(jì)算行列式、用方陣的特征值計(jì)算行列式（方陣的行列式等于它的全部特征值的乘積）。對(duì)于抽象的方陣的行列式的計(jì)算，目的是等的相關(guān)性質(zhì)以及方陣特征值的性質(zhì)。常見(jiàn)題型：（1）直接計(jì)算給定的低階或高階行列式；

（2）已知方陣A的行列式|A|，考察與A考察與 等相關(guān)的矩陣的性質(zhì)；（3）已知方陣A的特征值，求其多項(xiàng)式φ（A）的行列式。

二、矩陣

矩陣在線性代數(shù)中占有極為重要的位置，內(nèi)容多，影響深遠(yuǎn)，線性代數(shù)的各個(gè)章節(jié)中都要涉及到它，是數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的一個(gè)不可缺少的重要工具。重點(diǎn)內(nèi)容：（1）可逆矩陣、伴隨矩陣、分塊矩陣、矩陣的初等變換、矩陣的秩、初等矩陣、矩陣的相抵（即等價(jià)）及標(biāo)準(zhǔn)形等概念；（2）矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、方冪、多項(xiàng)式、分塊等運(yùn)算（包括運(yùn)用矩陣的性質(zhì)對(duì)抽象矩陣進(jìn)行運(yùn)算）；（3）數(shù)量矩陣、對(duì)角形矩陣、三角形矩陣、對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣等的基本性質(zhì)，伴隨矩陣的常用性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，矩陣的秩基本性質(zhì)。常見(jiàn)題型：（1）矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、行列式、逆、方冪、多項(xiàng)式以及它們的混合運(yùn)算；（2）判斷矩陣的可逆及求矩陣的逆矩陣（或抽象的，或具體的，或用定義法，或用伴隨矩陣法，或用初等變換法，或用矩陣分塊法）；（3）矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)系，伴隨矩陣性質(zhì)的證明及應(yīng)用；（4）用矩陣的逆或矩陣的初等變換解一些如AX=B（|A|≠0）或XA=B（|A|≠0）的矩陣方程；（5）用初等行變換化矩陣為行階梯形以及行最簡(jiǎn)形；（6）用矩陣的初等變換計(jì)算矩陣的秩，與矩陣的秩相關(guān)的若干計(jì)算或證明問(wèn)題；（7）矩陣的相抵及初等矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用；（8）利用矩陣的分塊法，求矩陣的乘積、方冪、行列式、逆、秩等。

三、向量與向量空間

向量與向量空間涉及的理論知識(shí)較抽象，內(nèi)容也比較多。主要包括向量的線性關(guān)系以及向量空間的初步知識(shí)。重點(diǎn)內(nèi)容：（1）n維向量的線性運(yùn)算（加法與數(shù)乘），向量的線性組合或線性表示，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，向量組的線性表示與等價(jià)，向量組的秩；（2）向量空間的基、維數(shù)、坐標(biāo)等，n維向量空間的基變換公式與坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣；（3）向量?jī)?nèi)積的概念與基本性質(zhì)，正交向量組，正交基與標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣及其性質(zhì)。常見(jiàn)題型：（1）判別向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)、判別向量可否由向量組線性表示；（2）利用矩陣的初等行變換求向量組的向量組的秩以及求一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用所得極大線性無(wú)關(guān)組線性表示出來(lái)；（3）判別向量組之間的線性表示或等價(jià)，并寫(xiě)出表示系數(shù)；（4）計(jì)算向量的內(nèi)積﹑長(zhǎng)度﹑夾角等，將線性無(wú)關(guān)向量組進(jìn)行施密特正交單位化，求向量空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基；（5）求具體的向量在給定的一個(gè)基下的坐標(biāo)，求從一個(gè)基到另一個(gè)基的過(guò)渡矩陣（基變換公式），求向量在兩個(gè)不同基下的坐標(biāo)（坐標(biāo)變換公式）；（6）判斷矩陣是否為正交矩陣。

四、線性方程組

線性方程組的問(wèn)題主要有線性方程組的求解法、解的判定法和解的結(jié)構(gòu)等。重點(diǎn)內(nèi)容：（1）線性方程組求解的消元法，線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的基本性質(zhì)；（2）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解，齊次線性方程組有非零解（或只有零解）的充分必要條件，非齊次線性方程組的通解；（3）克拉默法則。常見(jiàn)題型：（1）用消元法（即矩陣的初等行變換法）解線性方程組；（2）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；（3）判別非齊次線性方程組是否有解，若有解求出方程組的通解；（4）用克拉默法則求解方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組。

五、矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量和矩陣的相似是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，它們?cè)跀?shù)學(xué)的各個(gè)分支和其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。重點(diǎn)內(nèi)容：（1）矩陣特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的基本概念與性質(zhì)，相似矩陣的概念與基本性質(zhì)；（2）矩陣可對(duì)角化（相似于對(duì)角形矩陣）的充分必要條件及對(duì)角化的方法；（3）實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量的基本性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法。

常見(jiàn)題型：（1）求矩陣的特征值與特征向量，對(duì)具體的數(shù)值矩陣A，用特征方程|λE-A|=0及（λE-A）x=0求A的特征值和相應(yīng)的特征向量，而對(duì)抽象的矩陣A，可用定義Ax=λx求；（2）矩陣特征值、特征向量基本性質(zhì)的應(yīng)用；（3）判別矩陣是否可對(duì)角化，若可以，將矩陣對(duì)角化；（4）將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化；（5）已知矩陣 的特征值、特征向量來(lái)確定A的參數(shù)或確定A，若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，可用實(shí)對(duì)稱矩陣特征值、特征向量的性質(zhì)，當(dāng)然有時(shí)還可以由已知特征值λ 的特征向量確定出特征值λ（λ ≠λ）相應(yīng)的特征向量，從而確定出A。

六、二次型

二次型的理論主要有標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題以及正定性問(wèn)題。重點(diǎn)內(nèi)容：（1）二次型的基本定義，二次型的矩陣，矩陣的合同；（2）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形；（3）定二次型與正定矩陣，其他二次型（如負(fù)定二次型，半正定二次型，半負(fù)定二次型等）。常見(jiàn)題型：（1）用拉格朗日配方法或矩陣的初等合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；（2）用正交線性變換法化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似于對(duì)角形矩陣是一個(gè)問(wèn)題的兩種提法）；（3）求實(shí)二次型的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差；（4）判別矩陣是否合同；（5）化二次型為規(guī)范形；（6）判斷實(shí)二次型是否為正定二次型，或判斷實(shí)矩陣是否為正定矩陣（對(duì)具體的實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣，一般可用對(duì)應(yīng)的順序主子式是否全部大于零來(lái)判斷，而對(duì)抽象的實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣，可用相關(guān)定義或相關(guān)充分必要條件來(lái)判斷）。

在考研真題中，常見(jiàn)的是有關(guān)矩陣、向量、線性方程組的綜合試題。因此，我們要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真總結(jié)，要開(kāi)拓思路，要善于分析，徹底弄清楚諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，達(dá)到熟練掌握和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]戴立輝.線性代數(shù)教程[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2013.

[2]教育部考試中心.全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3]教育部考試中心.全國(guó)碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試分析[M].北京：高等教育出版社，2000.