【摘 要】文章簡要介紹了泰勒公式及其幾個常見函數(shù)的展開式, 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具,本文討論了應(yīng)用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)、判斷函數(shù)的凸凹性及拐點的問題以及帶有Pe?琢no余項的T?琢ylor公式有關(guān)的導(dǎo)數(shù)概念的推廣即Pe?琢no導(dǎo)數(shù)。
【關(guān)鍵詞】泰勒公式;極限;斂散性;凸凹性;拐點
泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個重要的內(nèi)容,微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函數(shù)的增量,自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具。泰勒公式的余項有兩種:一種是定性的,例如我們可以使用泰勒公式, 皮亞諾型余項;另一種是定量的,如拉格朗日余項、柯西型余項等。可以用來很好的解決有關(guān)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)問題。帶有余項的公式建立了函數(shù)與它的階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,在理論和實踐中有廣泛的應(yīng)用。
泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的內(nèi)容,不僅在理論上占有重要的地位,在近似計算、極限計算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式的計算等方面有重要的應(yīng)用。通過本文的論述,我們可以了解到高階導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo),不妨先把函數(shù)在指定點展成泰勒公式,一般是展成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式,然后根據(jù)題設(shè)條件恰當選擇展開點(展開點未必一定是具體數(shù)值點,有時以為佳)。只要在解題訓(xùn)練中注意分析、研究題設(shè)條件及其形式特點,并把握上述處理原則,就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。
作者簡介:郭勝紅(1979.2-),男,甘肅蘭州人,漢族,講師.主攻方向:數(shù)學(xué)教育。
參考文獻:
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊、第三版)[M].北京.高等教育出版社.2001(2008重?。?25-126,134-139
[2]孫清華,孫昊.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧(上)[M].武漢.華中科技大學(xué)出版.2003年7月,
[3]王殿元.帶有不同型余項泰勒公式的證明(第四期)[J].電大理工.2000.11,38