帶Peαno有余項的Tαylor公式的推廣及應(yīng)用

【摘 要】文章簡要介紹了泰勒公式及其幾個常見函數(shù)的展開式， 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，這種化繁為簡的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具，本文討論了應(yīng)用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)、判斷函數(shù)的凸凹性及拐點的問題以及帶有Pe？琢no余項的T？琢ylor公式有關(guān)的導(dǎo)數(shù)概念的推廣即Pe？琢no導(dǎo)數(shù)。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；極限；斂散性；凸凹性；拐點

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個重要的內(nèi)容，微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函數(shù)的增量，自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具。泰勒公式的余項有兩種：一種是定性的，例如我們可以使用泰勒公式， 皮亞諾型余項；另一種是定量的，如拉格朗日余項、柯西型余項等。可以用來很好的解決有關(guān)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)問題。帶有余項的公式建立了函數(shù)與它的階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，在理論和實踐中有廣泛的應(yīng)用。

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計算、極限計算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式的計算等方面有重要的應(yīng)用。通過本文的論述，我們可以了解到高階導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo)，不妨先把函數(shù)在指定點展成泰勒公式，一般是展成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式，然后根據(jù)題設(shè)條件恰當選擇展開點（展開點未必一定是具體數(shù)值點，有時以為佳）。只要在解題訓(xùn)練中注意分析、研究題設(shè)條件及其形式特點，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。

作者簡介：郭勝紅（1979.2-），男，甘肅蘭州人，漢族，講師.主攻方向：數(shù)學(xué)教育。

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