點(diǎn)擊一元二次方程問題中的等量關(guān)系

吳琳

可列一元二次方程解決的問題有多種，不管哪類問題，要列出一元二次方程，其關(guān)鍵在于尋找問題中的等量關(guān)系.本文試通過下列幾個(gè)問題，和同學(xué)們一起來探討列一元二次方程的幾種常見等量關(guān)系.

一、 增長率問題

例1 （2016·湖南永州）某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同.

（1） 求該種商品每次降價(jià)的百分率；

（2） 若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此種商品100件，為使兩次降價(jià)銷售的總利潤不少于3 120元，問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件？

【思路分析】（1） 本題隱含的等量關(guān)系是“標(biāo)價(jià)×（1-降價(jià)百分率）2=售價(jià)”，將售價(jià)、標(biāo)價(jià)和降價(jià)百分率代入等量關(guān)系，即可得到解決問題所需的一元二次方程；（2） 本題包含一個(gè)不等關(guān)系“第一次降價(jià)時(shí)銷售總利潤+第二次降價(jià)時(shí)銷售總利潤≥3 120”，而銷售利潤=銷售件數(shù)×每件利潤.將銷售件數(shù)和每件的利潤分別代入不等關(guān)系，即可得到一個(gè)不等式.

解：（1） 設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得：

400（1-x）2=324.

解得x=0.1=10%或x=1.9（不合題意，舍去）.

答：該種商品每次降價(jià)的百分率為10%.

（2） 設(shè)第一次降價(jià)后至少要售出該種商品m件，根據(jù)題意得：

[400（1-10%）-300]m+（324-300）（100-m）≥3 120.

解得m≥20.

答：第一次降價(jià)后至少要售出該種商品20件.

【方法點(diǎn)撥】增長率問題中，若增長的基數(shù)為a，每次增長的平均增長率為x，則第一次增長后的數(shù)量為a（1+x），第二次增長是以a（1+x）為基數(shù)的，兩次增長后的數(shù)量為a（1+x）2；基數(shù)是a，兩次平均降低率為x，則第一次降低的數(shù)量為a（1-x），第二次降低后的數(shù)量為a（1-x）2.

常用的等量關(guān)系為a（1±x）2=b.

二、 病毒傳播問題

例2 某種電腦病毒傳播速度非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？

【思路分析】設(shè)平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，經(jīng)過第一輪感染后，中毒電腦臺(tái)數(shù)為（1+x）臺(tái)，在第二輪傳播中，每臺(tái)電腦傳染給x臺(tái)，又有x（1+x）臺(tái)電腦中毒，兩輪傳播后，一共有1+x+x（1+x）臺(tái)電腦中毒.

解：設(shè)每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，依題意得：

1+x+（1+x）x=81，

（1+x）2=81，

x+1=9或x+1=-9，

解得x1=8或x2=-10（舍去），

則（1+x）3=（1+8）3=729>700.

答：每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過700臺(tái).

【方法點(diǎn)撥】在計(jì)算電腦傳播臺(tái)數(shù)的時(shí)候，不能忘記統(tǒng)計(jì)最初的一臺(tái)電腦以及一輪傳播過程中被感染的電腦，病毒傳播問題常用的相等關(guān)系是“最初的傳染源+每輪被感染數(shù)目之和=被感染總數(shù)”.

三、 聚會(huì)握手問題

例3 在某次同學(xué)聚會(huì)上，每兩人都握了一次手，所有人共握手45次，有多少人參加這次聚會(huì)？

【思路分析】設(shè)x人參加聚會(huì)，用含x的代數(shù)式表示握手的次數(shù)，即可得到一個(gè)一元二次方程.

解：設(shè)有x人參加這次聚會(huì)，

根據(jù)題意可得：x（x-1）÷2=45，

x2-x-90=0，

（x-10）（x+9）=0，

x-10=0或x+9=0，

x=10或x=-9（舍去）.

答：共有10名學(xué)生參加聚會(huì).

【方法點(diǎn)撥】x個(gè)同學(xué)握手，每個(gè)同學(xué)都和其他（x-1）個(gè)同學(xué)握手一次，因此x人共握手x（x-1）次，由于甲與乙握手后，乙不需要再和甲握手，因此總握手次數(shù)為.

四、 票價(jià)問題

例4 某旅游景點(diǎn)為了吸引游客，推出的團(tuán)體票收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：如果團(tuán)體人數(shù)不超過25人，每張票價(jià)150元，如果超過25人，每增加1人，每張票價(jià)降低2元，但每張票價(jià)不得低于100元，陽光旅行社共支付團(tuán)體票價(jià)4 800元，則陽光旅行社共購買多少張團(tuán)體票？

【思路分析】由于票價(jià)與人數(shù)多少有關(guān)，所以需先判斷團(tuán)體人數(shù)是不是超過25人，由150×25=3 750<4 800，所以團(tuán)體人數(shù)超過25人.設(shè)共購買了x張團(tuán)體票，則每張票的價(jià)格為150-2（x-25）元，根據(jù)總票價(jià)為4 800，可得方程x×[150-2（x-25）]=4 800.

解：∵150×25=3 750<4 800，∴購買的團(tuán)體票超過25張.

設(shè)共購買了x張團(tuán)體票.

由題意列方程得x×[150-2（x-25）]=4 800，

x2-100x+2 400=0，

解得x1=60，x2=40，

當(dāng)x1=60時(shí)，不符題意，舍去，

x2=40符合題意，∴x=40.

答：共購買了40張團(tuán)體票.

【方法點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系實(shí)際上就是表示出總票價(jià)4 800，而“總票價(jià)=每張票價(jià)×門票總數(shù)”，所以這類問題只需按照游客人數(shù)，確定出門票的單價(jià)和購買門票總數(shù)，即可列出一元二次方程.

五、 不規(guī)則圖形面積問題

例5 （2016·江蘇徐州）下圖是由三個(gè)邊長分別為6、9和x的正方形所組成的圖形，若直線AB將它分成面積相等的兩部分，則x的值是（ ）.

A. 1或9 B. 3或5 C. 4或6 D. 3或6

【思路分析】解決本題的關(guān)鍵是如何將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形. AB將這個(gè)圖形分成面積相等的兩部分，但這兩部分是不規(guī)則的圖形，面積不容易表示，我們可以考慮將其補(bǔ)全為一個(gè)矩形，那么AB將矩形分成面積相等的兩個(gè)直角三角形，再根據(jù)題意可知，AB兩旁補(bǔ)上的矩形面積也相等.據(jù)此列出方程，進(jìn)而求出x的值.

解：將此圖形按如圖方式補(bǔ)全為矩形，根據(jù)題意得：x（9-x）=6×3，

x2-9x+18=0，

解得：x1=3，x2=6，故選擇D.

【方法點(diǎn)撥】在解決不規(guī)則圖形的面積計(jì)算時(shí)，通常是通過分割或補(bǔ)全的方法，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再使用規(guī)則圖形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.等量關(guān)系常與圖形之間的面積關(guān)系有關(guān).

六、 鐵絲圍矩形問題

例6 （2015·四川廣元）李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形.

（1） 要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58 cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？

（2） 李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48 cm2.你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由.

【思路分析】（1） 設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為x cm，則另一個(gè)正方形的邊長為（10-x） cm，就可以表示出這兩個(gè)正方形的面積，根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于58 cm2”建立方程求出其解即可；

（2） 設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為y cm，則另一個(gè)正方形的邊長為（10-y） cm，就可以表示出這兩個(gè)正方形的面積，根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于48 cm2”建立方程，如果方程有解就說明李明的說法錯(cuò)誤，否則正確.

解：（1） 設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為x cm，則另一個(gè)正方形的邊長為（10-x） cm，

由題意得x2+（10-x）2=58.

解得x1=3，x2=7，

∴這兩個(gè)正方形的周長分別為4×3=12（cm），4×7=28（cm），

∴李明應(yīng)該把鐵絲剪成12 cm和28 cm的兩段.

（2） 李明的說法正確.

設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為y cm，則另一個(gè)正方形的邊長為（10-y） cm，

由題意得y2+（10-y）2=48，整理得y2-10y+26=0，

∵Δ=（-10）2-4×1×26=-4<0，

∴此方程無實(shí)數(shù)根，即這兩個(gè)正方形的面積之和不能等于48 cm2.

∴李明的說法是正確的.

【方法點(diǎn)撥】本題中的等量關(guān)系很明確，“兩個(gè)正方形的面積和等于58 cm2”.

（作者單位：江蘇省南通市新橋中學(xué)）