解題利器

王愛(ài)玲

在蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第1章第3節(jié)有一個(gè)選學(xué)內(nèi)容——一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，如果能掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于我們的解題將非常有幫助.

一、 根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）來(lái)說(shuō)，如果b2-4ac≥0，那么它的兩個(gè)根分別為

x1=，x2=.

∴x1+x2=+=-，

x1·x2=·==.

我們把x1+x2=-，x1·x2=這兩個(gè)簡(jiǎn)潔的關(guān)系稱為根與系數(shù)關(guān)系.

而在實(shí)際解題過(guò)程中，一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)通常為1，那么這一關(guān)系可簡(jiǎn)化為：

如果x2+px+q=0的兩根分別是x1和x2，則x1+x2=-p，x1x2=q.

二、 根與系數(shù)關(guān)系——解題利器

根與系數(shù)關(guān)系是由求根公式推導(dǎo)得到的，是求根公式應(yīng)用的“升華”，它使用起來(lái)就應(yīng)該更便捷.下面我們通過(guò)幾道題目來(lái)談?wù)劯c系數(shù)關(guān)系在解題中的應(yīng)用.

應(yīng)用1 一元二次方程兩根的檢驗(yàn)

例1 已知一元二次方程x2+2x-7=0，則這個(gè)方程的兩個(gè)根是（ ）.

A. -1+2，-1-2

B. -1+，-1-

C. -2，-7

D. 1+2，1-2

【分析】如果求解一元二次方程x2+2x-7=0，需要用公式法，比較麻煩，但如果用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)判斷可以迅速找到正確的選項(xiàng)，x1+x2=-2，x1x2=-7.

答案：A.

【方法點(diǎn)撥】由于這是一道選擇題，因此只需找到正確的答案即可，如果解一元二次方程比較繁瑣，可以采取其它一些“投機(jī)取巧”的方法來(lái)求解，如本題應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)判斷.

應(yīng)用2 已知方程一根，可求另一根

例2 已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根為2，求它的另一個(gè)根及k的值.

【分析】方程5x2+kx-6=0已知二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，所以x1x2的值已知，可根據(jù)兩根之積先求出方程另一個(gè)根，然后根據(jù)兩根之和求出k的值.

解：設(shè)方程的另一個(gè)根是x1，那么2x1=-.

∴x1=-，

又x1+2=-，∴-+2=-，∴k=-7.

【方法點(diǎn)撥】當(dāng)一元二次方程已知二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)，相當(dāng)于已知方程兩根之積；當(dāng)已知二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，相當(dāng)于已知方程兩根之和.當(dāng)已知方程一根的時(shí)候，就很容易根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到方程另一根.

應(yīng)用3 已知系數(shù)，求對(duì)稱代數(shù)式的值

例3 若x1、x2是一元二次方程x2-7x+5=0的兩根，則+的值是（ ）.

A. B. - C. D. -

【分析】∵x2-7x+5=0，∴x1+x2=7，x1x2=5，

∴+==.

答案：A.

【方法點(diǎn)撥】+可化成，因此要求出+的值，可先利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2和x1x2.

應(yīng)用4 逆用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程解決問(wèn)題

例4 已知兩個(gè)數(shù)的和等于8，積等于7，求這兩個(gè)數(shù).

【分析】可以將這兩個(gè)數(shù)看作是一個(gè)一元二次方程的兩根，那么x1+x2=8，x1x2=7，代入x2-（x1+x2）x+x1x2=0中，即可構(gòu)造出兩根分別為x1和x2的一元二次方程.

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2-8x+7=0的兩個(gè)根，

解這個(gè)方程，得x1=1，x2=7.

因此，這兩個(gè)數(shù)是1，7.

【方法點(diǎn)撥】由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化為x2-（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知兩根之和和兩根之積，可根據(jù)這一性質(zhì)構(gòu)造出一個(gè)符合要求的一元二次方程.

例5 已知x1，x2是方程x2+3x-5=0的兩根，求以（x1+1）和（x2+1）為根的一元二次方程.

【分析】逆用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，但要注意新方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是（x1+1）和（x2+1），而不是x1，x2.

解：∵x1，x2是方程x2+3x-5=0的兩根，

∴x1+x2=-3，x1·x2=-5，

∴（x1+1）+（x2+1）=x1+x2+2=-3+2=-1，

（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-5-3+1=-7，

∴以（x1+1）和（x2+1）為根的一元二次方程為：y2+y-7=0.

【方法點(diǎn)撥】已知一個(gè)一元二次方程，求新的一元二次方程，使它的根與原方程的根符合某種關(guān)系，這類題目的解題步驟是：①設(shè)出已知方程的兩根，并依據(jù)所知關(guān)系寫出所求方程的兩根；②由根與系數(shù)的關(guān)系寫出所設(shè)兩根的和與積；③求新方程兩根的和與積；④寫出新方程.

應(yīng)用5 應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系討論方程根的情況

例6 已知方程x2-4x-2m+8=0的兩個(gè)根中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，求m的取值范圍.

【分析】由于這兩個(gè)根一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，當(dāng)這兩根同時(shí)減去1，得到的兩數(shù)必然一正一負(fù)，它們的乘積是負(fù)數(shù)，可根據(jù)這一條件列出關(guān)于m的取值范圍.

解：方程有兩個(gè)根，所以Δ>0，

即42-4（-2m+8）>0，

解得m>2，同時(shí)根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可知：x1+x2=4，x1x2=-2m+8，由于兩個(gè)根中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，∴（x1-1）（x2-1）<0，

∴x1x2-x1-x2+1<0，∴-2m+8-4+1<0，∴m>.

【方法點(diǎn)撥】本題已知的是兩根之間的關(guān)系，要求的還是系數(shù)的取值范圍，解決此類問(wèn)題最終還是轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

三、 注意公式應(yīng)用條件

一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用必須滿足兩個(gè)前提條件，首先這個(gè)方程必須是一元二次方程，一般表現(xiàn)為二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0，其次這個(gè)一元二次方程要有兩根，即保證根的判別式的值為非負(fù)數(shù).

例7 關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的兩根的平方和小于5，求k的取值范圍.

[x1+x2=3] [x1·x2=k+1][【分析】x2 1+x2 2=（x1+x2）2-2x1x2<5.]

解：設(shè)方程兩根分別為x1，x2，

x1+x2=3，x1·x2=k+1，

∵x2 1+x2 2=（x1+x2）2-2x1x2=32-2（k+1）<5，

∴k>1，①

又∵Δ=（-3）2-4（k+1）≥0，

∴k≤，②

由①②得：1

【方法點(diǎn)撥】已知方程兩根關(guān)系，探求字母系數(shù)的取值范圍，可先將兩根關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩根之和和兩根之積的形式，構(gòu)造方程或不等式，確定字母的取值范圍，務(wù)必要注意Δ≥0這個(gè)隱含條件.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初中）