用好例題拓展提高學(xué)習(xí)實效

教科書中的例題是圍繞本節(jié)（或本章）的概念、定理而設(shè)置的典型題目，在平時的學(xué)習(xí)過程中，往往有些同學(xué)不重視、不關(guān)注.本文借助于課本中一道題，加以變式拓展，希望能帶給同學(xué)們一些新的認(rèn)識.

原題呈現(xiàn)：蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第34頁：

如圖1，在矩形ABCD中，AB=16 cm，BC=6 cm，點P從點A出發(fā)，以3 cm/s的速度向點B移動，直到到達(dá)點B為止；同時點Q從點C出發(fā)，以2 cm/s的速度向點D移動，經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10 cm？

【分析】設(shè)運動時間為t秒，因為PQ長為10 cm，所以構(gòu)造出以PQ為斜邊的直角三角形，作PH⊥CD，垂足為H，用t表示出線段HQ的長，用勾股定理列方程即可求解.

解：設(shè)P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點P，Q間的距離是10 cm，

如圖2，作PH⊥CD，垂足為H，

則PH=BC=6，PQ=10，

HQ=CD-AP-CQ=16-5t.

因為PH2+HQ2=PQ2，

可得：（16-5t）2+62=102，

解得t1=4.8，t2=1.6.

答：P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過1.6或4.8秒時，點P，Q間的距離是10 cm.

變式一 條件不變，在運動過程中，點P和點Q之間的距離可能是18 cm嗎？如果可能，求出運動時間t，如果不可能，請說明理由.

解：與上述過程相同，

（16-5t）2+62=182，

解得t1=，t2=.

由于>6，<0，

所以在運動過程中，點P和點Q之間的距離不可能是18 cm.

變式二 （2016·威海一模）如圖3，在矩形ABCD中，AB=16 cm，BC=6 cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3 cm/s的速度向點B移動，直到到達(dá)點B為止，點Q以2 cm/s的速度向點B移動，經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10 cm？

[圖5][圖4][圖3]

【分析】設(shè)P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點P，Q間的距離是10 cm，表示出PB、BQ，利用勾股定理建立方程求得答案即可.

解：設(shè)P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點P，Q間的距離是10 cm，

則PB=16-3t，BQ=6-2t，

因為PB2+BQ2=PQ2，

所以（16-3t）2+（6-2t）2=102，

解得t1=，t2=.

又因為0

答：P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過秒時，點P，Q間的距離是10 cm.

變式三 條件不變，如圖4，∠DQP能否為直角？若能，請求出相應(yīng)的時間t的值.

【分析】題目明確問∠DQP能否為直角，所以需要構(gòu)建△DQP，再根據(jù)勾股定理求解.

解：能.

由∠DQP=90°，則有DQ2=DP2-PQ2，

所以（16-2t）2=62+（3t）2-62，

解得：t=.

當(dāng)t=時，∠DQP為直角.

變式四 條件不變，經(jīng)過多長時間，點P、Q、D組成的三角形是等腰三角形？

【分析】設(shè)時間為t s，過P作PM⊥CD于M，過Q作QN⊥AB于N，根據(jù)四邊形ABCD是矩形可知DC=AB=16 cm，AD=BC=PM=QN=6 cm，∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°，故DM=AP=3t cm，BN=CQ=2t cm，再分DP=PQ，DQ=PQ及DP=DQ三種情況進行討論即可.

解：設(shè)時間為t s，過P作PM⊥CD于M，過Q作QN⊥AB于N（如圖5），

因為四邊形ABCD是矩形，所以DC=AB=16 cm，AD=BC=PM=QN=6 cm，

∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°，

則DM=AP=3t cm，BN=CQ=2t cm.

分為三種情況：

①當(dāng)DP=PQ時，則DM=MQ=3t cm，

∵3t+3t+2t=16，解得：t=2；

②當(dāng)DQ=PQ時，在Rt△PNQ中，由勾股定理得：（16-2t）2=62+（16-3t-2t）2，

7t2-32t+12=0，

解得：t==，

因為t=>（舍去），

所以t=；

③當(dāng)DP=DQ時，在Rt△DAP中，由勾股定理得：（16-2t）2=62+（3t）2，

即5t2+64t-220=0，

解得t==，

因為<0，所以t=.

答：經(jīng)過2秒、秒或秒時，點P、Q、D組成的三角形是等腰三角形.

變式五 如圖6，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=4 cm，點P以4 cm/s的速度從頂點A出發(fā)沿折線A—B—C向點C運動，同時點Q以2 cm/s的速度從頂點C出發(fā)向點D運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)末端停止運動時，另一點也停止運動.問兩動點經(jīng)過多長時間，使得點P與點Q之間的距離為2.

【分析】注意題目中對兩動點運動的表述，從而知道每個動點的運動路徑.不難看出P分別在AB、BC上運動，所以需要分類討論.

解：設(shè)兩動點經(jīng)過t秒使得點P與點Q之間的距離為2.

①當(dāng)0

解得t=或；

②當(dāng)3

得方程5t2-32t+59=0，

此時Δ<0，此方程無解.

綜上所述，當(dāng)t=或時，點P與點Q之間的距離為2.

通過以上題目的變式，同學(xué)們一定會發(fā)現(xiàn)解決此類問題，關(guān)鍵是要會表示出相關(guān)線段長，利用勾股定理，再結(jié)合方程進行求解.同學(xué)們也可以作適當(dāng)?shù)淖兪剑囋嚳?，你會發(fā)現(xiàn)新天地.

（作者單位：江蘇省海門市正余初級中學(xué)）