數(shù)學拓展材料設計的常見問題及思考

摘 要：拓展材料是推進學生開展探究性學習的有效載體，它的設計是數(shù)學教學設計的重要組成部分.拓展材料的設計關鍵在于“度”的把握，不僅要依據(jù)課程標準，關注學情，還要有效銜接數(shù)學思想方法.

關鍵詞：數(shù)學教學；拓展材料；探究性學習

數(shù)學新課程強調(diào)教師要建設性地使用教材，充分利用和開發(fā)各種教學資源，為學生提供豐富的學習素材和足夠的思維空間，使每位學生得到長足的發(fā)展[1].為此，在數(shù)學教學中設置延伸拓展材料成為一種常態(tài).而在當前數(shù)學教學中，由于教師對數(shù)學教學內(nèi)容、學生知識基礎、認知能力等認識不夠，導致出現(xiàn)拓展材料設計過偏、過難、過深，從而使學生的數(shù)學學習出現(xiàn)困難，教學出現(xiàn)低效乃至負效的情形.下面就以南京市初中數(shù)學課堂中的一些教學設計片段為例（使用的教材為江蘇科技出版社出版的《義務教育教科書·數(shù)學》），談談數(shù)學拓展材料設計中的常見問題.

一、忽視學生知識基礎 欲速不達

有效的拓展材料設計一定要從學生已有的數(shù)學知識基礎出發(fā)，要關注不同學段數(shù)學教學內(nèi)容特點，設計的問題要符合學生階段性的認知水平和解決問題的能力，如果拓展材料中的問題過難、過深、過于超前，那么學生難以企及，會望而生畏，以至于學生對數(shù)學理解產(chǎn)生偏差和困難.

案例 1 《6.1 函數(shù)》（八年級上冊）第1課時

在本節(jié)課小結前，教師出示如下拓展問題：

（1）當x是實數(shù)時，y=1，y是x的函數(shù)嗎？

（2）當x是有理數(shù)時，y=0；當x是無理數(shù)時，y=1，y是x的函數(shù)嗎？

在教學中，幾乎整班學生都認為上述y不是變量，與函數(shù)定義中x、y都是變量不符，因此得出它們都不是函數(shù)的結論.

本課是南京市某校教學開放日開設的教學公開課，事實上問題（1）是常數(shù)函數(shù)，問題（2）是狄利克雷函數(shù)，這兩個函數(shù)若放到高中學習了建立在集合基礎上的函數(shù)概念后，就十分容易理解.因此在初中數(shù)學教學中，一般暫時不涉及這些函數(shù)，更多研究的是一些常見函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，這類問題可以放到高中階段的數(shù)學學習中去研究.

案例2 《9.3 平行四邊形》（八年級下冊）第2課時

在“思維拓展”階段，教師出示問題：

如圖1，已知直線l及l(fā)外一點A.請你只用圓規(guī)在直線l外畫出一點P，使得點A、P所在直線與直線l平行.

這是南京市初中數(shù)學公開課試講時設計的一個拓展問題.本課主要的教學內(nèi)容是平行四邊形的兩個判定定理，由于學生剛學平行四邊形，都把平行四邊形作為一個整體來認識，而本拓展問題恰恰是要構造兩個全等三角形拼成一個平行四邊形，即在直線l上任取B、C兩點，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧，再以點C為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P.這一操作的核心在于平行四邊形是由兩個全等三角形構成，對初學平行四邊形相關知識的學生來說，僅僅用圓規(guī)來尋找點P的難度太大，而這些知識會在三角形中位線部分得到相應強化，因此課后研討中，建議這一拓展問題可以放至本章的復習課教學中.

二、忽視教學目標約束 過猶不及

課堂教學目標是通過一節(jié)課的教學，學生要達到雙基、能力和態(tài)度的變化，它是落實課程標準的可操作、可觀察的微觀目標.課堂教學目標依據(jù)課程標準，但不囿于課程標準，它有適度的彈性，但又受課程標準的約束.好高騖遠，不顧學生的學習狀況和課程標準的要求，不切實際地追求過高過遠的目標，往往會偏離正常的教學軌道，挫傷學生的學習積極性和主動性.

案例3《9.5 多項式的因式分解》（七年級下冊）第4課時

在本節(jié)課小結前，教師出示如下拓展問題：

已知a、b、c是△ABC三邊的長，a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，試用因式分解知識說明a+c=2b.

這是南京市初中數(shù)學聯(lián)片教研活動中開設的公開課片段.本課的主要任務是綜合運用“提公因式法”和“運用公式法”，將多項式分解因式.現(xiàn)行教材中已不涉及用“分組分解法”將多項式分解因式的知識，而本題求解過程中，需將a2-16b2-c2+6ab+10bc=0變形為（a2+6ab+9b2）-（25b2+10bc+c2）=0，即（a+3b）2-（5b+c）2=0.然后利用平方差公式和三角形兩邊之和大于第三邊的知識說明a+c=2b.這一拓展問題超出課程標準內(nèi)容要求，知識上的落差造成幾乎所有學生無從下手.課后研討中，大家一致認為應棄用這個拓展問題.

案例4《6.4 探索三角形相似的條件》（九年級下冊）第2課時

在“思維拓展”階段，教師出示問題：

如圖2，在平面上，給定半徑為r的圓O，對于任意點P，在射線OP上取一點P'，使得OP·OP'=r2 ，這種把點P變?yōu)辄cP'的變換叫作反演變換，點P與點P'叫作互為反演點.

（1）如果一個圖形上各點經(jīng)過反演變換得的反演點組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫作互為反演圖形.如果不經(jīng)過點O的直線l與⊙O相交，那么它關于⊙O的反演圖形是一個什么圖形？

（2）如圖3，⊙O內(nèi)外各一點A和B，它們的反演點分別為A'和B'.那么∠A'與∠B相等嗎？為什么？

這是南京市數(shù)學骨干教師公開課中的教學設計，本節(jié)課學生的主要任務是探索三角形相似的條件：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，而本案例中的拓展點，放在一個學生陌生的幾何變換背景下，即反演變換，這是一種比較復雜的變換，目標的偏離也成為困擾學生學習的難點，而其中有關三角形相似的問題，缺乏思維的深度與厚度，因此作為“思維拓展問題”名不副實.

三、忽視方法銜接鋪墊 揠苗助長

數(shù)學拓展材料大多包含一些探究性和挑戰(zhàn)性問題，需要學生綜合運用數(shù)學知識加以分析解決，其中滲透了一定的研究方法，這里除了研究問題的一般方法，如從特殊到一般的方法，從合情推理到邏輯推理的方法等，還有解決問題的常用方法，如解決問題過程中的建模、歸納和類比等方法 [2].因此教師在拓展材料的設計時，如果忽略解決問題中的數(shù)學思想方法的前期鋪墊和滲透，沒有使方法學習在教學中凸顯出來，那么常常會超越學生的經(jīng)驗和能力，使問題解決難以為繼.

案例5 《12.1 二次根式》（八年級下冊）第1課時

上課后，教師請學生用帶根號的式子表示幾個簡單問題，歸納得出二次根式的概念，通過研究這一概念的內(nèi)涵、外延、性質(zhì)，伴隨幾個例題，教師最后提出拓展問題：

對于根式，你打算如何開展研究？

這是南京市初中數(shù)學公開課試講時設計的一個拓展問題，教師的本意是讓學生提煉一下數(shù)學研究的一些方法.但由于學習過程都是在教師引導下進行的，并且學生初學二次根式，高度關注知識內(nèi)容，無暇顧及研究數(shù)學的方法，更談不上知識方法的融會貫通，因此三次根式的出現(xiàn)大大出乎學生意料，教師詢問幾個學生均無從回答，最后教師只能自述，失去了讓學生“思考”的價值.在課后研討時，參與聽課的教師建議刪去這個拓展問題或放在本章“小結與思考”教學時再使用.

案例6《5.2 平面直角坐標系》（八年級上冊）第1課時

在“思維拓展”階段，教師出示問題：

已知x是實數(shù)，求│x-4│+│x+1│的最小值.

這是南京市初中數(shù)學青年教師優(yōu)質(zhì)課評比時的拓展問題設計，這一問題改編于課本“習題”中的題目：

點M（4，0）到點N（-1，0）的距離是 .

由于解決上述拓展問題時，需要將兩個絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上一個動點P（x，0）到兩個定點M、N之間的距離和問題，并且要將動點P（x，0）放置于到點N的左邊、點M的右邊、點M與點N之間進行考察，這里涉及數(shù)形轉(zhuǎn)化、圖形建構、分類討論等數(shù)學思想方法，超越學生的經(jīng)驗和能力，與本課的教學內(nèi)容失去應有的匹配度，因此給本節(jié)課的教學帶來不應有的困難.實際上這個拓展問題可以放至本章復習課教學時作為課后思考題使用.

綜上，設計數(shù)學教學拓展材料，不僅要準確評判學生的數(shù)學現(xiàn)實，還要把握課程標準和教學要求，這些都需要教師的實踐智慧，這里的難點是把控好延伸拓展材料的難度、深度和廣度，這樣才能營造學生“跳一跳，夠得著”的情境，使延伸拓展材料真正有效地為教學服務，為學生的發(fā)展服務.

參考文獻：

[1]朱建明.數(shù)學教學中設置延伸拓展材料的思考[J].中國數(shù)學教育（初中版），2008（12）：4.

[2]朱建明.數(shù)學探究活動設計中的常見問題及有效改進[J].教學與管理，2010（5）：50.