初中數(shù)學(xué)課堂反例的應(yīng)用

方小龍

摘要：在初中階段，邏緝推理能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)非常重要的一種能力。所以，我們?cè)谝髮W(xué)生寫(xiě)證明題時(shí)必須做到每一步都要有理由，但是有時(shí)候在證明一些命題時(shí)，我們沒(méi)有辦法找到證明的理由，特別是在說(shuō)明一個(gè)命題是否正確時(shí)，就需要我們?cè)谡n堂上找到反例來(lái)幫助說(shuō)明。反例就是解決這個(gè)特殊問(wèn)題的，其實(shí)反例就是我們課堂所舉的那些只能滿足題目的條件，但不能滿足題目結(jié)論的例子。（即命題條件與其命題的結(jié)論相互矛盾的例子）。當(dāng)我們要證明某個(gè)命題正確時(shí)，就要說(shuō)明當(dāng)滿足它的條件時(shí)，它的結(jié)論都是正確的。而我們要說(shuō)某個(gè)結(jié)論不對(duì)，只要找一個(gè)結(jié)論不正確，可是卻滿足命題條件的例子。像這樣的例子就叫做反例。

關(guān)鍵詞：反例；推理；滿足；作用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2015）12-0088

數(shù)學(xué)中的反例就是一個(gè)例子，它的作用就是拿來(lái)說(shuō)明某個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。它只能滿足命題的條件，卻不能滿足命題的結(jié)論。這樣的例子叫做反例。比如說(shuō)，有這樣的一個(gè)命題：我們班所有的同學(xué)都喜歡上數(shù)學(xué)課。那么我們應(yīng)該怎樣說(shuō)明這句話是錯(cuò)誤的呢？怎樣去尋找說(shuō)明這句話是錯(cuò)誤的反例呢？我們只需要找一個(gè)班上的同學(xué)，但他又不喜歡上數(shù)學(xué)課的同學(xué)。也就是“一個(gè)不愛(ài)上數(shù)學(xué)課的班上同學(xué)”成為這個(gè)命題的反例，在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)幾何證明過(guò)程中，舉反例的方法和證明的方法都是我們平時(shí)常用的兩種方法，舉反例是我們正面無(wú)法證明時(shí)很好的一種補(bǔ)充方法。證明就是用一句正確的話，去推出另一句話也是正確的。但是，反例是用一句正確的話，去說(shuō)明另一句話是錯(cuò)誤的。事物和事物之間的聯(lián)系都能用這兩種方法來(lái)推理。美國(guó)數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆說(shuō)過(guò)，不斷提出證明和舉出反例的過(guò)程就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，它決定了數(shù)學(xué)發(fā)展的兩個(gè)主要方向。

在數(shù)學(xué)課堂上要想讓學(xué)生學(xué)得好，除了正面的證明，也要使用舉反例的方法幫助學(xué)生從另一個(gè)方面進(jìn)行正確理解。它也是我們平時(shí)教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常用到的方法，它可以讓學(xué)生很輕松地理解書(shū)本所學(xué)知識(shí)?？梢愿玫亟庾x性質(zhì)、定理，掌握好數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的解題能力。

接下來(lái)，我們將從反例的組成、反例在數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用、反例對(duì)學(xué)生推理能力培養(yǎng)、舉反例要關(guān)注的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

一、反例的組成

我們只有經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理論證，才能說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是正確可靠的；但是要說(shuō)一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要找到舉一個(gè)反例就可以了。平時(shí)在課堂上，我們可直接舉一個(gè)符合該命題的反例，就可以說(shuō)明這一句話是錯(cuò)誤的，不要通過(guò)繁雜的證明過(guò)程，從而更容易理解該結(jié)論。

那反例怎么找呢？是不是隨便找一個(gè)例子都是反例呢？這就要求所找到的例子必須一個(gè)符合命題的反例，也就要求學(xué)生必需經(jīng)過(guò)很多的思考，還有以往經(jīng)驗(yàn)的積累，反例不是很容易就能出現(xiàn)的。要想得到反例，分析命題的條件是必須的。例如：相等的角是對(duì)頂角，這個(gè)命題的條件是什么呢？?jī)蓚€(gè)相等的角，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，所有相等的角當(dāng)中未必都是對(duì)頂角。

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要學(xué)習(xí)很多概念。若給出一個(gè)概念的定義，然后判斷它對(duì)不對(duì)，我們常常需要從命題的條件入手分析來(lái)尋找反例。反例是一種簡(jiǎn)單又好用的判斷命題錯(cuò)誤的方法，同時(shí)它也可以提高學(xué)生逆向思維，又能幫助學(xué)生正確理解定義、性質(zhì)。反例是我們?cè)谧C明過(guò)程中完美的補(bǔ)充，它也是一種數(shù)學(xué)證明方法。

二、反例在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

在我們初中數(shù)學(xué)課堂上，利用反例對(duì)我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有什么幫助呢？

1. 幫助我們正確全面地理解數(shù)學(xué)概念

當(dāng)我們解讀某個(gè)數(shù)學(xué)的概念給學(xué)生聽(tīng)時(shí)，除了進(jìn)行正面的理解外，有的時(shí)候還要從反過(guò)來(lái)，找到一個(gè)合適該數(shù)學(xué)概念的反例來(lái)幫助說(shuō)明概念的含義，讓學(xué)生更容易地理解此概念。

例1. 在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，有一小部分學(xué)生是這樣想的：只要有變化而變化，這種關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系，如何讓學(xué)生正確理解函數(shù)的概念呢？我們可以提出以下兩個(gè)問(wèn)題：

（1）人的身高與體重成函數(shù)關(guān)系嗎？

（2）若y=x2，則y是x的函數(shù)嗎？

筆者認(rèn)為很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為人的身高與體重構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。因?yàn)槿碎L(zhǎng)大了，體重也就增加了。所以，人的身高與體重有關(guān)系，只要有關(guān)系那就是函數(shù)關(guān)系。此時(shí)，我們可以問(wèn)學(xué)生，當(dāng)你13歲這一年中，你的體重是不是都不變呢？你能確定嗎？通過(guò)這樣的反例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然人的身高和體重有關(guān)系，但是當(dāng)人體重確定時(shí)，人的身高有可能不唯一，即當(dāng)自變量（人的體重）發(fā)生變化時(shí)，因變量（身高）沒(méi)有完全唯一的值和它對(duì)應(yīng)，因此不符合函數(shù)的定義。從而加深了對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)。而（2）中學(xué)生會(huì)說(shuō)：y不是x的函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x=±1時(shí)，y=（±1）2=1，因變量y不隨x的變化而變化（當(dāng)時(shí)，y值都是1），此時(shí)我們可以問(wèn)學(xué)生當(dāng)確定時(shí)，唯一嗎？其實(shí)對(duì)每一個(gè)給定x的值，當(dāng)x變化時(shí)，雖然y的值有時(shí)不變。但還是有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，由此認(rèn)識(shí)到y(tǒng)是x的函數(shù)，并非一定要求y隨x的變化而變化，而是對(duì)每一個(gè)給定x的值，y都有唯一值和它對(duì)應(yīng)。什么是函數(shù)關(guān)系？通過(guò)所舉兩個(gè)反例的學(xué)習(xí)，他們就掌握了函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。

課堂上，當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)生學(xué)習(xí)概念、定理、公式一時(shí)，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)一些關(guān)鍵句不夠理解，而是強(qiáng)行記憶概念、定理、公式，并沒(méi)有真正地理解。結(jié)果遇到與概念、定理、公式有點(diǎn)相似的，就容易造成混淆。

例2. 對(duì)于矩形、菱形、正方形的判定它們內(nèi)容很相近，這就容易讓他們搞不清楚。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們可以讓他們相互多舉一些這樣反例，以便更好地強(qiáng)化對(duì)判定的理解。

例3. 當(dāng)我們?cè)趯W(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形時(shí)，它們之間有很多性質(zhì)，而且它們之間既有區(qū)別，同時(shí)又有聯(lián)系。 這時(shí)學(xué)生就很容易發(fā)生錯(cuò)誤 例如把矩形的性質(zhì)說(shuō)成對(duì)角線互相垂直這樣的錯(cuò)誤等等。當(dāng)我們碰到這種情況時(shí)，我們可以先讓學(xué)生上黑板畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方形（非正方形），然后叫他們用尺子比一比，看看它們的對(duì)角線是否互相垂直。通過(guò)這樣的反例，學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)這是不對(duì)的。從而使他們?nèi)?、深刻地理解所學(xué)知識(shí)。因此，當(dāng)所學(xué)相關(guān)知識(shí)較多時(shí)，我們可以通過(guò)讓學(xué)生舉一些反例幫助理解。

3. 培養(yǎng)思維的發(fā)散性

在數(shù)學(xué)課堂上，可以利用反例大大豐富課堂教學(xué)。因?yàn)榉蠢慕M成不是唯一的，所以我們可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生多多地舉出反例。從而調(diào)動(dòng)了數(shù)學(xué)課堂氛圍，充分展開(kāi)想象，同時(shí)也讓學(xué)生的發(fā)散性思維得到充分發(fā)揮和訓(xùn)練。

反例經(jīng)常用于否定錯(cuò)誤的命題。在平面幾何學(xué)習(xí)中，我們往往通過(guò)對(duì)比來(lái)發(fā)現(xiàn)一些錯(cuò)誤的命題，這就需要用到反例來(lái)否定這些錯(cuò)誤的命題。

例14. 我們可能會(huì)把“所有的正方形都會(huì)相似”的結(jié)論移植到矩形中，誤認(rèn)為“所有的矩形都會(huì)相似”。此時(shí)就可以構(gòu)造反例：一個(gè)矩形長(zhǎng)為3，寬為2；另矩形長(zhǎng)為4，寬為5，顯然兩個(gè)矩形長(zhǎng)和寬不會(huì)成比例。可見(jiàn)，所有的矩形都會(huì)相似這句話是錯(cuò)誤的。

四、舉反例要關(guān)注的問(wèn)題

反例雖然在我們數(shù)學(xué)課堂上廣泛運(yùn)用，但在課堂教學(xué)中，運(yùn)用反例時(shí)還要注意一些小問(wèn)題：

1. 注意主次。在正常的上課過(guò)程中，我們學(xué)習(xí)概念、定理和法則，一般是以書(shū)本上的證明為主。而舉反例的方法只是一種輔助方法，只要能運(yùn)用它否定錯(cuò)誤的命題就可以了，不必要學(xué)太深。2. 注意適當(dāng)。反例的選擇不是隨隨便便的，它既要合適又能說(shuō)明問(wèn)題。不要花很多時(shí)間找來(lái)一大堆無(wú)效的反例。這樣不僅沒(méi)用，又容易讓學(xué)生產(chǎn)失敗感。不一樣的知識(shí)點(diǎn)，所用到的反例也不一樣，要求也不一樣?？傊线m的反例才是最好的反例。

總之，對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)，解題是他們必須掌握的數(shù)學(xué)能力。通過(guò)解題，可以考查他們對(duì)知識(shí)的掌握情況。而反例能很好地幫助學(xué)生解題。它很好地輔助了我們的課堂教學(xué)。因此，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)題時(shí)，除了讓他們學(xué)會(huì)從正面尋找解題的出路，也要讓他們學(xué)會(huì)用反例的方法來(lái)證明，從而更好地提高學(xué)生的綜合解題能力。

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（作者單位：福建省福鼎十七中 355209）