多解問題歸類解答

文/丁潔

多解問題歸類解答

文/丁潔

在中考試題中，多解問題是一類常見而重要的問題，解決這類問題要多角度、全方位、深層次地去思考.下面以2015年中考試題為例，對常見的多解問題加以歸類解析，供你復(fù)習(xí)時參考.

一、由高的位置不同引起的多解

圖1

圖2

A.7B.8C.8或17D.7或17

作AD⊥BC于點D，如圖1.

（1）當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)時，

（2）當(dāng)高AD在△ABC外時，如圖2，BC=BD-CD=12-5=7.綜合（1）、（2）可知，選D.

溫馨小提示：三角形的高可在三角形內(nèi)，也可在三角形上或三角形外，對于沒有明確三角形高的位置的“涉高”問題，要注意分類討論，謹(jǐn)防漏解.

二、由弦所對的弧引起的多解

圖3

例2（2015年泉州卷）在以O(shè)為圓心，3cm為半徑的圓周上，依次有A、B、C三個點，若四邊形OABC為菱形，則該菱形的邊長等于______cm；弦AC所對的弧長等于_____cm.

解析：如圖3，連接OB、AC，

∵四邊形OABC為菱形，∴OA=AB=BC=OC.

∵⊙O的半徑為3cm，∴OA=OC=3cm.

∵OA=OB=AB，∴△OAB為等邊三角形，

∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°.

因此該菱形的邊長等于3cm，弦AC所對的弧長等于2π或4πcm.

溫馨小提示：在圓中，非直徑的弦所對的弧有劣弧和優(yōu)弧，要注意分類求解.

三、由絕對值的性質(zhì)引起的多解

圖4

例3（2015年泰州卷）已知一次函數(shù)y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數(shù)圖像上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.

（1）當(dāng)P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；

（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當(dāng)d1+d2=3時點P的坐標(biāo)；

（3）若在線段AB上存在無數(shù)個P點，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值.

解析：（1）令x=0得，y=-4，令y=0得，x=2，

所以O(shè)A=2，OB=4，故d1+d2=3.

（2）設(shè)P（m，2m-4），則d1+d2=|m|+|2m-4|.

當(dāng)m＞2時，d1+d2=m+2m-4=3，解得m=，此時P（1，）；

當(dāng)0≤m≤2時，d1+d2=m+4-2m=4-m=3，解得m=1，此時P（21，-2）；

當(dāng)m＜0時，d1+d2=-m+4-2m=4-3m=3，解得m=，舍去.

（3）由已知得，|2m-4|+a|m|=4，當(dāng)a=2，0≤m≤2時，都符合要求，故a=2.

溫馨小提示：遇到含有絕對值的問題，需去掉絕對值符號，這就要根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行分類求解，從而得到多解.

四、由等腰三角形腰的不確定引起的多解

圖5

例 4 （2015年南昌卷）如圖5，已知二次函數(shù)l1：y= ax2-2ax+a+3（a＞0）和二次函數(shù)l2：y=-a（x+1）2+1（a＞0）圖像的頂點分別為M、N，與y軸分別交于點E、F.

（1）函數(shù)：y=ax2-2ax+a+3（a＞0）的最小值為______；當(dāng)二次函數(shù)l1，l2的y的值都隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是_____；

（2）當(dāng)EF=MN時，求a的值，并判斷四邊形ENFM的形狀（直接寫出結(jié)論，不必證明）；

（3）若二次函數(shù)l2的圖像與x軸的右交點為A（m，0），當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求方程-a（x+1）2+1=0的解.

解析：（1）3；-1＜x＜1.

∴m1=-1，m2=--1（舍去）；

∵拋物線y=-a（x+1）2+1的對稱軸為x=-1，

∴方程-a（x+1）2+1=0的解為x1=2，x2=-4，x3=-1，x4=--1.

溫馨小提示：在等腰三角形中，腰與底的不確定引起的多解是中考命題的熱點，要求出所有答案，需要確定分類標(biāo)準(zhǔn).

五、由對稱性引起的多解

例5（2015年揚州卷）如圖6，已知⊙O的直徑AB=12，AC是⊙O的弦，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，連接BC.

（1）求證：∠PCA=∠B；

（2）已知∠P=40°，點Q在優(yōu)弧ABC上，從點A開始逆時針運動到點C停止（點Q與點C不重合），當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時，求動點Q所經(jīng)過的弧長.

圖6

圖7

圖8

圖9

解析：（1）如圖6，連接OC.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠2+∠3=90°.

∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，

∴∠PCO=∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2.

∵OC=OB，∴∠2=∠B，

∴∠1=∠B，即∠PCA=∠B.

（2）∵∠P=40°，∴∠POC=50°.

∵AB=12，∴AO=6.

當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時，動點Q在優(yōu)弧ABC上有三個位置：

①如圖7，點C關(guān)于AB的對稱點，由軸對稱性知，∠AOQ=∠POC=50°，

于如圖8，點C關(guān)于點O的對稱點，由中心對稱性知，∠BOQ=∠POC=50°，

∴∠BOQ=∠POC=50°，∴∠AOQ=230°.

溫馨小提示：由運動引起的多解是最常見的問題，若已知圖形不完整需畫出符合題意的所有圖形，根據(jù)不同圖形分別求解，得到所有的結(jié)論.

六、由操作過程的不確定引起的多解

圖10

例6（2015年紹興卷）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1∶2∶1，用兩個相同管子在容器5cm高度處連通（即管子底端離容器底5cm），現(xiàn)三個容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如圖10所示.若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，注水1分鐘，乙的水位上升cm，則注入_____分鐘的水量后，甲與乙的水位差是0.5cm.

解析：設(shè)注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位差是0.5cm，有三種情況：①當(dāng)乙的水位低于甲的水位時；于甲的水位低于乙的水位，而甲的水位高1cm；③當(dāng)甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達(dá)連通管的底部，甲的水位上升.

∵三個圓柱形的底面半徑之比為1：2：1，

∴所以對應(yīng)的底面圓的面積之比為1：4：1，

設(shè)注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位差是0.5cm.

③當(dāng)甲的水位低于乙的水位時，乙的水位不斷上升，到達(dá)連通管的底部后，乙的水流向甲，甲的水位開始上升，

溫馨小提示：這是一道填空題的壓軸題，有一定的難度.讀懂題意，弄清甲與乙的水位差是0.5cm的所有情形，找出每一種情形下的等量關(guān)系，分別列出對應(yīng)的一元一次方程求解.