開放性問題專題分析

文/王鋒

開放性問題專題分析

文/王鋒

開放性問題是中考常見題型，側(cè)重于考查考生的合情推理與演繹推理、發(fā)散思維能力.在中考中有以下常見題型.

一、條件開放型

圖1

例1（2015年鹽城卷）如圖1，在△ABC與△ADC中，已知AD= AB，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC?△ADC，只需要再添加一個條件可以是_____.

解析：由題設(shè)可知AD=AB，AC是△ABC與△ADC的公共邊，要使△ABC?△ADC，

①若根據(jù)“SAS”，需添加條件∠DAC=∠BAC；

于若根據(jù)“SSS”，需添加條件CD=CB；

③若根據(jù)“HL”，需添加條件∠ABC=∠ADC=90°等等.

∴填∠CAD=∠CAB或DC=BC或∠B=∠D=90°.

評點：添加條件使得兩個三角形全等（或相似），或使四邊形為某種特殊的四邊形是條件開放型中最常見的問題之一，既要注意已知條件，更要挖掘題目或圖形中隱含的條件，切忌添加一些重復(fù)的或無效的條件.

二、添加運算過程型

例2（2014年濱州卷）寫出一個運算結(jié)果是a6的算式______.

解：答案不唯一.可填a2·a4或a·a5或（a3）2.

評點：熟悉運算法則，即可正解求解.

三、結(jié)論開放型

評點：滿足題設(shè)條件的結(jié)論可能有無數(shù)多個，按要求選擇一個或幾個即可.

四、作圖開放型

圖2

圖3

例5圖2、圖3都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1.在每個網(wǎng)格中標注了5個格點.按下列要求畫圖：

（1）畫一個以格點為頂點的等腰三角形，使其內(nèi)部只有3個已標注的格點；

（2）以格點為頂點，畫一個正方形，使其內(nèi)部只有3個已標注的格點，且邊長為無理數(shù).

解析：本題屬于開放性作圖問題（有部分限制條件），答案不唯一，可任選一個.

（1）根據(jù)標注的5個點的位置，通過簡單計算（利用勾股定理求邊長）可得4種作圖方案，如圖4所示.

圖4

（2）根據(jù)標注的5個點的位置，通過簡單計算（利用勾股定理求邊長）可得4種作圖方案，如圖5所示.

圖5

評點：利用正方形網(wǎng)格設(shè)計幾何圖形是中考的熱點問題，解答此類問題需利用網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特征——每個網(wǎng)格的邊長可以看作一個單位長度；水平網(wǎng)格線互相平行，豎直網(wǎng)格線互相平行；水平網(wǎng)格線與豎直網(wǎng)格線互相垂直；利用正方形網(wǎng)格的對角線可以得到45°、90°、135°的特殊角等.另外，要充分發(fā)揮勾股定理的作用，發(fā)現(xiàn)一些特殊的三角形、四邊形及全等（或相似）三角形，從而為解決有關(guān)問題提供條件.

五、評價開放型

例6（2014年荊門卷）我市某中學七、八年級各選派10名選手參加學校舉辦的“愛我荊門”知識競賽，計分采用10分制，選手得分均為整數(shù)，成績達到6分或6分以上為合格，達到9分或10分為優(yōu)秀.這次競賽后，七、八年級兩支代表隊選手成績分布的條形統(tǒng)計圖和成績統(tǒng)計分析表如圖6所示，其中七年級代表隊得6分、10分的選手人數(shù)分別為a，b.

（1）請依據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，求a，b的值；

（2）直接寫出表中m，n的值；

（3）有人說七年級隊的合格率、優(yōu)秀率均高于八年級隊，所以七年級隊的成績比八年級隊好，但也有人說八年級隊的成績比七年級隊好.請你給出兩條支持八年級隊成績好的理由.

圖6

解析：（1）由七年級參賽人數(shù)10人，得1+a+1+1+1+b=10，即a+b=6；由平均分為6.7，得（3×1+6a+7×1+8×1+9×1+10b）=6.7，即6a+10b=40，聯(lián)立a+b=6，解得a=5，b=1.

（3）八年級隊的成績比七年級隊好的理由有三條，可以從中任意選兩條.

從平均分看，八年級隊的平均分：1_（5×2+6×1+7×2+8×4+9×1）=7.1分，七年級隊的10平均分：1_（3+6×5+7+8+9+10）=6.7分，八年級隊的成績比七年級隊的高. 10

從中位數(shù)看，七年級隊的中位數(shù)是6.5，八年級隊的是7.5，八年級隊成績的中位數(shù)比七年級隊的高.

評點：運用“三數(shù)”“兩差”對某個對象進行評價是統(tǒng)計中?？嫉膯栴}之一，對于同個對象，從某個角度去評價時可能是“較差的”，從另一個角度去評價時，也許變成是“較好的”.

六、取值開放型

另外，也可選x=-2代入求值.

評點：在分式（或根式）的化簡求值中，字母取值經(jīng)常是開放性的，選取的數(shù)既要保證化簡后的結(jié)果有意義，又要保證原分式（或根式）有意義.