尺規(guī)作圖題新走向

文/朱廣科

尺規(guī)作圖題新走向

文/朱廣科

近幾年中考作圖題，已不局限于對基本作圖技能的考查，一些設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的作圖題越來越受到命題者青睞.情景型、設(shè)計(jì)型、閱讀理解型、開放型等題型層出不窮.這些作圖題大都聯(lián)系生活實(shí)際，需要進(jìn)行多方位、多角度、多層次探索，以檢驗(yàn)我們思維的靈活性、發(fā)散性、創(chuàng)新性.現(xiàn)以2015年的中考試題為例，就各種作圖題分類說明，供你復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、基本作圖型

圖1

例1（2015年蘭州卷）如圖1，在圖中求作⊙P，使⊙P滿足以線段MN為弦且圓心P到∠AOB兩邊的距離相等.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆加黑）

解：點(diǎn)P是∠AOB的平分線與線段MN的垂直平分線的交點(diǎn)，以P為圓心，PM為半徑的圓為所求，如圖1，⊙P就是所求作的圓.

點(diǎn)評(píng)：尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖，最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱為基本作圖.解尺規(guī)作圖題時(shí)，要明確直尺和圓規(guī)的功能，理解圖形的本質(zhì)特征，確定正確的作圖順序，一般需要保留作圖痕跡.

二、圖形剪拼型

圖2

圖3

圖4

圖5

例2（2015年龍巖卷）下列網(wǎng)格中的六邊形ABCDEF是由邊長為6的正方形左上角剪去邊長為2的正方形所得，該六邊形按一定的方法可剪拼成一個(gè)正方形.

（1）根據(jù)剪拼前后圖形的面積關(guān)系求出拼成正方形的邊長；

（2）如圖3，把六邊形ABCDEF沿EH，BG剪成①于③三部分，請?jiān)趫D4中畫出將于③與①拼成的正方形，然后標(biāo)出于③變動(dòng)后的位置，并指出于③屬于旋轉(zhuǎn)、平移和軸對稱中的哪一種變換；

（3）在圖5中畫出一種與圖4不同位置的兩條裁剪線，并在圖5中畫出將此六邊形剪拼成的正方形.

解：（1）根據(jù)剪拼前后圖形的面積相等，得出拼成的正方形的邊長為

（2）如圖4所示，于③都屬于平移.

（3）如圖5所示.

點(diǎn)評(píng)：有趣的剪拼問題常蘊(yùn)含著理性的數(shù)學(xué)思考.本題以圖形的剪拼為背景，考查了正方形、勾股定理等有關(guān)知識(shí).理解旋轉(zhuǎn)、平移和軸對稱變換的特點(diǎn)，合理計(jì)算發(fā)現(xiàn)拼接前后圖形中邊、角、面積之間的關(guān)系，從而確定剪拼方案.

三、圖形變換型

圖6

例3（2015年聊城卷）在如圖6所示的直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，-1）.

（1）將△ABC沿y軸正方向平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)B1坐標(biāo)；

（2）畫出△A1B1C1關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo).

解：（1）如圖6所示，△A1B1C1為所求；點(diǎn)B1坐標(biāo)為（-2，-1）.

（2）如圖6所示，△A2B2C2為所求，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（1，1）.

點(diǎn)評(píng)：圖形變換主要包括圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等幾種情況.解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)觀察并挖掘其中的變換條件，根據(jù)變換規(guī)律得出對應(yīng)點(diǎn)位置.

四、開放探究型

例4（2015年南京卷）如圖7，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）

圖7

解：滿足條件的所有圖形如圖7所示.

點(diǎn)評(píng)：解此類問題需要分類討論.對于結(jié)論不確定的問題，因解題思路不同及理解程度不同，將得到不同的結(jié)論，均可作為問題的答案.此題主要考查等腰三角形的判定，合理利用圖形分類是解題的關(guān)鍵.分類討論時(shí)，要慎密思考，做到不重不漏.

五、閱讀理解型

例5（2014年寧波卷）在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交點(diǎn)）上，這樣的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.記格點(diǎn)多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)為a，邊界上的格點(diǎn)數(shù)為b，則格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=ma+nb-1，其中m，n為常數(shù).

（1）在下面的方格紙中各畫一個(gè)面積為6的格點(diǎn)多邊形，依次為三角形、平行四邊形（非菱形）和菱形；

（2）利用（1）中的格點(diǎn)多邊形確定m，n的值.

解：（1）如圖8所示.

圖8

（2）在圖8的三角形中，a=4，b=6，S=6，

在平行四邊形（非菱形）中，a=3，b=8，S=6，在菱形中，a=5，b=4，S=6，

任選兩組代入S=ma+nb-1，

點(diǎn)評(píng)：依照材料給出的定義，對新問題進(jìn)行類似的信息遷移，考查應(yīng)用新知識(shí)的能力.要求我們在閱讀的基礎(chǔ)上，尋找規(guī)律并應(yīng)用于解決新問題，理解格點(diǎn)多邊形的面積公式S=ma+ nb-1，根據(jù)已知畫出各多邊形是解題的關(guān)鍵.

六、問題情景型

例6（2015年北京卷）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：

小蕓的作法如下：

圖8

如圖8所示，

（2）作直線CD.

老師說：“小蕓的作法正確.”

請回答：小蕓的作圖依據(jù)是____________________________________

解：∵CA=CB，DA=DB，

∴CD垂直平分AB（到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）.

故答案為：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

點(diǎn)評(píng)：本題是通過師生對話的形式給出的一類作圖題，試題活潑生動(dòng)、趣味十足，激發(fā)學(xué)生解題的激情，在呈現(xiàn)方式上，不是直接尺規(guī)作圖，而是給出作圖的方法和過程，讓學(xué)生找出作圖的依據(jù)，其目的是考查學(xué)生搜索信息、整理信息和應(yīng)用信息的能力，要求學(xué)生不僅要知其然，還要知其所以然.